Question

1)в трапеции abcd длины оснований ad и bc относятся как 2: 1.принимая за начало координат вершину а, а за базисные векторы ad и ab,найти координаты вершин трапеции,точки m пересечения ее диагоналей и точки s пересечения боковых сторон. 2)даны координаты точек a,b,c в декартовой прямоугольной системе координат. найти: 1)cos 2)площадь треугольника abc 3)высоту bn в треугольнике abc 4)объем пирамиды oabc,где о-начало координат. 5)высоту op пирамиды oabc а=(3,-8,6),в=(-3,-5,8), с=(-1,-6,10) !

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

1) Для начала определим координаты вершин трапеции.
Пусть точка А имеет координаты (0,0) - это начало координат.
Так как длины оснований ad и bc относятся как 2:1, то длина основания ad в два раза больше длины основания bc. Пусть длина основания ad равна 2х, а длина основания bc равна х.

Точки B, C и D будут находиться на отрезке ad. Положение точки B будем определять координатами (x,y).

Так как основания трапеции параллельны, то основание bc будет лежать на прямой, проходящей через начало координат и точку B. Координаты точки C будут (х/3, 0).

Для поиска точки D можно воспользоваться свойством трапеции – все диагонали трапеции пересекаются в одной точке.

Теперь найдем координаты точки D. Диагональ AC можно найти как половину суммы векторов AB и DC.
Вектор AB будет иметь координаты (x, y), а вектор DC – (х/3, 0).
Следовательно, координаты точки AC будут ((х/2 + x/3)/2, (y+0)/2), или ((5х/6)/2, y/2), или (5х/12, y/2).

Координаты точки D соответственно будут ((х/2 - x/3)/2, (y+0)/2), или ((х/6)/2, y/2), или (x/12, y/2).

Таким образом, вершины трапеции имеют координаты:

A(0, 0), B(x, y), C(х/3, 0), D(x/12, y/2).

Теперь найдем координаты точки M – точки пересечения диагоналей трапеции. Мы можем найти середины этих диагоналей, а затем применить формулу для получения координат точки пересечения.

Координаты середины диагонали AC будут ((0+х/3)/2, (0+0)/2), или (х/6, 0).

Координаты середины диагонали BD будут ((х/12+x)/2, (y/2+y)/2), или (13х/24, y/2).

Теперь, применив формулу для нахождения точки пересечения прямых, получим координаты точки M:
x = х/6 + 13х/24 * ((0-х/6)/(х/12-х/6)) = х/6 + 13х/24 * ((-х/6)/(х/12-х/6)) = х/6 - 13х/24 * (-1) = х/6 + 13х/24 = 5х/8.
y = y/2 + (y/2 - 0) * (x/12 - х/6)/(х/12 - х/6) = y/2 + (y/2) * (0)/(0) = y/2.

Таким образом, координаты точки М равны (5х/8, у/2).

Для нахождения координат точки S – точки пересечения боковых сторон трапеции, мы можем найти уравнения прямых, на которых лежат боковые стороны, а затем решить систему уравнений.

Боковые стороны трапеции – это отрезки AB и CD.

Уравнение прямой AB:
(y-0)/(x-x) = (y-0)/(х-0), или 1/х = у/y, или 1/х = (удевайс) * (1/у), или у/х = (у/х), или y = x.

Уравнение прямой CD:
(y-0)/(x-х/12) = (0-y/2)/(x-х/3), или (y-0)(х-х/3) = (0-y/2)(x-х/12), или хy - х(х/3) = (-1/2)yx + (1/24)хy.
Упростим это уравнение:
3xy - x^2 = (-1/2)xy + (1/24)xy, или 3xy + (1/12)xy = x^2, или 36xy + 2х^2 = 12x^2, или 2х^2 - 24xy + 36xy = 0, или 2х^2 + 12xy = 0.
Разделим это уравнение на 2 и получим:
х^2 + 6xy = 0.

Теперь решим систему уравнений y = x и х^2 + 6xy = 0.
Подставим в уравнение х значение y:
х^2 + 6x^2 = 0, или х(х + 6x) = 0.

Решения этого уравнения могут быть х = 0 или х + 6x = 0, или 7x = 0.
Таким образом, получаем две точки пересечения боковых сторон трапеции – S(0, 0) и S(-6, 6).

2) Зная координаты точек A, B и C, мы можем найти расстояние между ними и использовать формулы для нахождения косинуса угла, площади треугольника и высоты треугольника.

Расстояние между двумя точками в декартовой системе координат можно найти с помощью формулы:
d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)).

1) Cos угла ABC можно найти с помощью формулы:
cos(ABC) = ((AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC)).
AB = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2),
BC = sqrt((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2),
AC = sqrt((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2).

2) Площадь треугольника ABC можно найти с помощью формулы Герона:
S = sqrt(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC)), где
p = (AB + BC + AC) / 2.

3) Высоту треугольника BN можно найти следующим образом:
Выразим координаты высоты N через координаты вершин треугольника ABC.
Пусть точка N(x, 0).
Уравнение прямой, проходящей через B и перпендикулярной AC:
(y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)
Учитывая, что (x1, y1) = (0, 0), (x2, y2) = (x, y), получаем:
y / y = x / x,
1 = x / x,
x = x.
Таким образом, высота BN параллельна оси x и проходит через точку B, ее координата y равна 0.

4) Площадь треугольника ABC можно найти с помощью формулы Герона:
S = sqrt(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC)), где
p = (AB + BC + AC) / 2,
AB = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2),
BC = sqrt((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2 + (z3 - z2)^2),
AC = sqrt((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2 + (z3 - z1)^2).

5) Высоту OP пирамиды OABC можно найти с помощью формулы:
H = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2).