Вопрос задачи - найти величину двугранного угла. Двугранный угол измеряется величиной его линейного угла. На рисунке это угол между перпендикулярами АР и АМ, возведенными из точки А к линии пересечения плоскостей, т.е. к ребру КН этого угла. Угол между прямой АВ и плоскостью β - это угол ВАН, т.е. угол между ВА и ее проекцией АН на плоскость β. ВН ⊥ плоскости β, следовательно, ⊥ и прямой НМ, проведенной параллельно КН. Треугольник АВН - прямоугольный, угол НВА= 90º-30º=60º. ВН=АВ*sin 30º=(5:√3)*1/2=(5:√3)/2 Если плоскость α проходит через прямую a, параллельную плоскости β, и пересекает эту плоскость по прямой b, то b || a. ВС параллельна плоскости β, которая пересекает плоскость α по прямой КН ⇒ ВС и КН - параллельны. АР - общий перпендикуляр к ВС и КН, ⇒ треугольник АРВ - прямоугольный. АР=АВ*sin 60º=(5:√3)*√3):2=5/2 Из Р опустим перпендикуляр РМ на плоскость β РМ || ВН ⇒ РМ=ВН =(5:√3)/2 Треугольник РАМ - прямоугольный. АМ - проекция АР на плоскость β , АР⊥КН. По т. о трех перпендикулярах АМ ⊥ КН, ⇒ ∠ РАМ - линейный угол двугранного угла между плоскостями α и β. sin ∠РАМ = РМ:АР={(5:√3)/2 }:5/2=1/√3 =0,57735 ≈ 0,5774 По таблицам Брадиса это синус угла 35º16'
Построим рисунок к данной задаче.Горизонтальная прямая будет изображать плоскость . Проведем к нем вертикальный отрезок АВ, точка А лежит на прямой изображающей плоскость.С точки А проведем две наклонные по одну сторону от перпендикуляра АВ: Одну из них (большую) обозначим АС=15, другую АD=13.По условию ВС-ВD=4.Пусть ВD =х,тогда ВС= 4+х. На рисунке изображены два прямоугольных треугольника. Применим теорему Пифагора. ΔАВС: АВ^2=225-(4+x)^2. ΔABD: AB^2=169-x^2. Приравняем правые части полученных равенств: 225 -(4+х)^2=169-x^2, 225-16-8x-x^2=169-x^2, 8x=40, x=5; BD=5. ΔABD: AB^2= 169-25=144, AB=12. ответ: 12.
