диаметр вписанной есть длина стороны, диаметр описанной - длина диагонали квадрата, в квадрате диагональ относится к основ. как 1 к корню из 2х, то пусть сторона 2а, то диаг. 2(кор. из 2)*а, то произв.радиусов =(кор. из 2)*а^2=4(корня из 2), то а=2. значит радиус впис. =2, опис = два корня из 2х
Задача имеет два решения. 1) Биссектрисы углов A и D не пересекаются; 2) Биссектрисы углов А и D - пересекаются. Общим для обоих случаев является следующее: Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Действительно, так как биссектриса угла А параллелограмме является и секущей при параллельных ВС и АD, то ∠ ВТА=∠ ТАD как накрестлежащий. Но ∠ ТАD=∠ ТАВ по условию, следовательно, ∠ВАТ=∠АТВ. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. ∆ АВТ - равнобедренный. На том же основании и ∆ DEC равнобедренный. АВ=ВТ, ЕС=СD. Полное решение отдельно для каждого случая дано в приложении.
Первый Пусть BK и CM — медианы треугольника ABC, O — их точка пересечения и AC > AB. Обозначим OM = x, OK = y. Тогда OC = 2x, OB = 2y. По теореме косинусов из треугольников MOB и KOC находим, что BM2 = x2 + 4y2 − 4xy cos ∠MOB, CK2 = 4x2 + y2 − 4xy cos ∠KOC. Поскольку BM = 1 2 AB, KC = 1 2 AC, то BM2 < KC2, или x2 + 4y2 < 4x2 + y2 (∠MOB = ∠KOC). Отсюда следует, что x > y. Поэтому CM = 3x > 3y = BK. Второй Пусть BK и CM — медианы треугольника ABC, O — их точка пересечения и AC > AB. Проведём медиану AN. В треугольниках ANB и ANC сторона AN — общая, BN = CN, а AB < AC, поэтому ∠ANB < ∠ANC (см. задачу 3606). В треугольниках ONB и ONC сторона ON — общая, BN = CN, а ∠ONB < ∠ONC, поэтому OB < OC. Следовательно, BK = 3 2 OB < 3 2 OC = CM.
диаметр вписанной есть длина стороны, диаметр описанной - длина диагонали квадрата, в квадрате диагональ относится к основ. как 1 к корню из 2х, то пусть сторона 2а, то диаг. 2(кор. из 2)*а, то произв.радиусов =(кор. из 2)*а^2=4(корня из 2), то а=2. значит радиус впис. =2, опис = два корня из 2х