Дана правильная четырехугольная пирамида SАВСД, длина бокового ребра которой равна L = 3 см, а стороны основания a = 2√3 см.
Проведём осевое сечение через 2 боковых ребра.
В сечении равнобедренный треугольник АSС с боковыми сторонами L = 3 см и основанием - диагональ квадрата основания d = a√2 = (2√3)*√3 = 2√6 см.
Высота Н пирамиды равна:
Н = √(L² - (d/2)²) = √(9 - 6) = √3 см.
Перпендикуляр из центра основания пирамиды на боковое ребро (пусть это ОК) - это высота треугольника ОSС, она равна (√3*√6)/3 = √2 см.
Искомый угол лежит в перпендикулярном сечении к боковому ребру.
В сечении - треугольник ВКД.
Апофема А = √(3² - (2√3/2)²) = √(9 - 6) = √3 см.
КД - высота, она равна 2S/L = (2*((1/2)*2√3*√6))/3 = 2√2 см.
То есть она как гипотенуза треугольника ОКД в 2 раза больше катета ОК, а угол КДО равен 30 градусов.
Отсюда искомый угол ВКД равен 2*60 = 120 градусов.
Действительно апофема будет иметь
проекцию на основание пирамиды,
которая есть радиус вписанной окружности.
Но его нет смысла вычислять. Так как
r=S/p где S--- площадь треугольника
её мы найдем по формуле Герона,
pполупериметр у нас он равен 15
(6+10+14)/2=15
Значит апофема есть
h=r*cosq где q-- данный угол в 30градусов
Тогда площадь боковой поверхности
пирамиды будет:
S(бок)=h*p подставляя получим
S(бок)=h*p=p*r*cosq=(S/p)*p*cosq=
=Scosq
S=кореньиз(p(p-a)(p-b)(p-c))=
=кореньиз(15*9*5*1)=15корнейиз3--площадь
треугольного основания
а cos30гр.=кореньиз3/2
Значит площадь боковой поверхности
равна 45/2=22,5см²