Обозначим (начиная с нижнего левого острого угла) по часовой стрелке ABCD.
Тогда AD = 12 см и AB=8 см
Высоты из угла В - на AD - BE и на CD - BF
<EBF = 60
BE - высота, т. е. BE перпендикулярно AD, значит BD перпендикулярно и BC, т.к.
BC параллельно AD, следовательно, < CBE - прямой и <CBF =90 - <EBF =90-60 =30
BF - высота, она перпендикулярна CD, т.е. треугольник BFC - прямоугольный, значит
<BCF = 90 - <CBF = 90 -30 =60
Но <A = < C, значит <A =60 и можем найти высоту BE из треугольника AEB
BE=AB* cos <A
BE = 8*cos 60 = 8* корень(3)/2 = 4*корень(3)
площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту
S = AD*BE = 12*4*корень(3) = 48 * корень(3) кв. см
сорок восемь умножить на корень из трех
Здесь следует рассмотреть сечение шара плоскостью, которая делит и шар,и конус таким образом, что все мы наблюдаем как бы в срезе. Смотри рисунок. Используем расширенную теорему синусов, чтобы узнать радиус описанной окружности вокруг треугольника АВС. Заметим, что этот треугольник равнобедренный. АВравно ВС как образующие конуса. Найдем АВ по теореме Пифагора
AB^2=AH^2+HB^2
AB^2=(3sqrt3)^2+3^2
AB^2=27+9
AB^2=36
AB=6 см.
Найдем противолежащий угол ВСА. Он равен углу ВАС.
По теореме синусов нам нужен синус этого угла.
sinangle BAC=frac{BH}{AB}
sinangle BAC=frac{3}{6}
sinangle BAC=frac{1}{2}
По теореме синусов
2R=frac{AB}{sinangle BCA}
2R=frac{6}{sinangle BAC}
2R=frac{6}{0,5}
2R=12
R=6 - радиус описанной окружности вокруг треугольника АВС, и радиус шара описанного вокруг конуса одновременно.
Объем шара находится по стандартной формуле
V=frac{4}{3}pi*R^3
V=frac{4}{3}pi*6^3
V=4pi*6^2*2
V=8pi*36
V=288pi
Рассматриваем треугольник АВС - прямоугольный, угол В - 60°, угол А - 30°, значит АВ=2ВС=4ДВ;
АД=АВ-ДВ=4ДВ-ДВ=3ДВ. ч.т.д.