AA₁ = 9 см
ВВ₁ = 12 см
СС₁ = 15 см
Объяснение:
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Обозначим ОА₁ - х, тогда ОА = 2х,
ОВ₁ = у, тогда ОВ = 2у.
Из двух прямоугольных треугольников АОВ и АОВ₁ составим уравнения по теореме Пифагора.
4x² + 4y² = 100
4x² + y² = (2√13)² = 52
Вычтем из первого уравнения второе:
3y² = 48
y² = 16
y = 4
4x² = 100 - 4y²
x² = 25 - y²
x = √(25 - 16)
x = 3
AA₁ = 3x = 9 см
ВВ₁ = 3у = 12 см
ОС₁ - медиана прямоугольного треугольника АОВ, проведенная к гипотенузе, значит равна ее половине:
ОС₁ = 1/2 AB = 5 см
СС₁ = 5 · 3 = 15 см
Pmbkd = 12 ед.
Доказательство в приложении.
Объяснение:
В ромбе все стороны равны, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Дано, что AM/MB = CK/KD = 1,5. =>
АМ=1,5·MВ; СК = 1,5·KD.
АВ = АМ+МВ = 5 => 2,5·MB = 5 => MB = 2.
CD = CK+KD = 5 => 2,5·KD = 5 => KD = 2.
MB║KD как части противоположных мторон ромба.
Значит MBKD - параллелограмм по признаку: "Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм".
Рассмотрим треугольники МВD и АВО.
МВ/ВО = 2/√5 = 2√5/5 и ВD/AB = 2√5/5.
Итак, в этих треугольниках стороны пропорциональны, а углы, заключенные между этими сторонами, равны (угол В - общий).
Следовательно, эти треугольники подобны, а так как треугольник АВО прямоугольный, то и треугольник MBD - прямоугольный.
В параллелограмме MBKD угол MDB - прямой (доказано выше), значит четырехугольник MBKD - прямоугольник.
По Пифагору найдем сторону DM:
DM = √(BD² - BM²) = √(20 - 4) = 4 ед. =>
Периметр Pmbkd = 2·(2+4) = 12 ед.
