Вершина M пирамиды MABCD проектируется в точку O. Введем
систему координат следующим образом:
точку O примем за начало координат,
оси Ox и Oy направим параллельно сторонам основания,
а ось Oz— вдоль высоты пирамиды OM.
Выразим координаты точек:
A(–4; –2; 0), B(–4; 2; 0), C(4; 2; 0),
D(4; –2; 0), M(0; 0; 2 15 ,)
R(2; 1; 15 .)
Отрезок AR является высотой
в равностороннем треугольнике AMC,
поэтому прямая MR перпендикулярна ребру AR искомого
двугранного угла.
Проведем в треугольнике ADR высоту DH.
Тогда останется найти угол между прямыми MR и DH.
Найдем координаты векторов:
MR = {2; 1;- корень из 15 }
AR = {6; 3; корень из15 }
DA = {- 8; 0; 0}.
Так как векторы AH и AR - коллинеарны, то
AH = k AR= ⋅ = {6k ; 3k ; корень из15 k}
Далее из равенства DH=DA+AH получаем
DH= − {6k- 8;3k ; корень из15 k }
Теперь, используя условие DH ⊥ AR
имеем уравнение
6(6k – 8) + 9k + 15k = 0.
Отсюда k = 0,8 и DH = {−3,2; 2,4; 0,8 корень из15 . }
Так как MR и DH — направляющие векторы прямых MR и
DH соответственно, то для нахождения угла между этими прямыми
воспользуемся формулой :
cos ϕ=
в числителе | - 6, 4 + 2, 4 - 12 |
в знаметалеле под первым корнем : корень из 20 умнижить на корень из 25,6
получаем cos ϕ= корень из 2 на 2
Значит, угол между прямыми MR и DH и угол между данными
плоскостями равен = π/4
ответ: π/4
№1 В Треугольнике ABC провели медианы АА(1) и ВВ(1). ВА(1)=6, АВ(1)=7, угол В= 30 градусов. Найти радиус описанной окружности.
РЕШЕНИЕ
ВА1=6, АВ1=7
медианы АА(1) и ВВ(1) < т.А1 т.В1 делят стороны пополам
тогда BA1=A1C=6 , BC=BA1+A1C=12
тогда АB1=В1C=7 , АC=АB1+В1C=14
по теореме синусов
AC /sinB = 2R
R= AC /2sinB =14/2*sin30=14
ОТВЕТ R=14
№2 в треугольнике провели биссектрису ВВ(1), угол А=60 градусов, АВ=6, АВ(1)=5. Найти В(1)С, ВС
РЕШЕНИЕ
теорема:
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
сторона АС разделена на части АВ1=5 ; В1С = х <обозначим х
AC=5+x
по теореме о биссектрисе
АВ1/В1С = АВ/ВС , тогда ВС= АВ*В1С/АВ1 =6/5*х
угол А=60 градусов
по теореме косинусов
BC^2=AB^2+AC^2 - 2AB*AC*cosA
(6/5*х)^2 = 6^2+(5+x)^2 -2*6*(5+x)*cos60
(1.2x)^2 = 36+25+10x+x^2 -30 -6x
0.44x^2-4x-31 =0 <---квадратное уравнение
D=70.56 ; ѴD=8.4
x1= -5 <не подходит x>0
x2= 14
В1С = х =14
BC = 6/5*x=6/5*14=16,8
ОТВЕТ В(1)С= 14 , ВС =16.8
Далее вычитаем и получаем 10.
угол АВD имеет градусную меру вдвое меньше чем градусная мера дуги, следовательно отсюда 5