Два конуса (один внутри другого) построены на одном основании. Углы между образующими и высотой конуса равны 300 и 600 . Разность высот равна
12√3. Площадь сферы, описанной около большого конуса, равна πk, найдите k.
Объяснение:
Рассмотрим сечение данной комбинации тел , проходящее через высоты конусов. Центр О ,описанной окружности около большего ΔАВМ, лежит на серединном перпендикуляре, который совпадает с высотой МК, т.к. МА=МВ образующие конуса.
Вершина О малого конуса лежит на высоте большого конуса .
ΔОАВ-равнобедренный,т.к. ОА=ОВ образующие малого конуса ⇒ОА=ОВ=R и ОА=ОВ=ОМ=R.
По условию задачи S(сферы )=πк , ∠АМК=30°,∠АОК=60°, H-h=12√3 , H-высота большого конуса , h-высота малого конуса
Т.к. H-h=12√3 , то МО= 12√3 ⇒ R =12√3.
S(сферы )=4πR² и S(сферы )=πк приравняем правые части:
4π(12√3)²=πк
к =4*144*3, к=12³ или к=1728
Треугольники OBC, OBD, OCD - прямоугольные.
По теореме Пифагора
CD = √(OC^2 - OD^2) = √(20^2 - 12^2) = √(400-144) = √256 = 16
Треугольник OBD подобен OBC, потому что угол В - общий.
Треугольник OCD тоже подобен OBC, потому что угол С - общий.
Значит, треугольник OBD подобен OCD.
CD : OD = OD : DB
16 : 12 = 12 : DB
DB = 12^2 / 16 = 144/16 = 9
R = OB = √(OD^2 + DB^2) = √(144 + 81) = √225 = 15
H = OC = 20
V = 1/3*pi*R^2*H = 1/3*pi*15^2*20 = 1/3*pi*15*15*20 = pi*15*5*20 = 1500pi