Question

25 . 9 класс. 1. найдите длину дуги окружности, градусная мера которой равна 20°, если площадь круга, ограниченного этой окружностью, равна 36 см². 2. площадь квадрата, описанного около некоторой окружности, равна 48 см². найдите радиус этой окружности и площадь вписанного в нее правильного треугольника.

Answer 1

1. $l_{n} = \frac{\pi R}{180} *n$, где n - градусная мера соответственного центрального угла.
Найдем радиус окружности:
$S= \pi R^{2} =36 \pi ; \\ R= \sqrt{ \frac{S}{ \pi } } = \sqrt{ \frac{36 \pi }{ \pi } }=6$, где S - площадь круга.
Найдем длину дуги:
$l_{20}= \frac{6 \pi }{180} *20= \frac{2}{3} \pi$
ответ: $\frac{2}{3} \pi$ см.
2. Найдем сторону квадрата a:
$S= a^{2} = 48; \\ a= \sqrt{48} =4 \sqrt{3}.$
Радиус вписанной в квадрат окружности равен:
$R= \frac{a}{2}$, где a - сторона квадрата.
$R= \frac{4 \sqrt{3} }{2} =2 \sqrt{3}$
Площадь вписанного треугольника равна:
$S= \frac{ c^{2} \sqrt{3} }{4}$, где c - сторона правильного треугольника.
Необходимо найти сторону правильного треугольника. Так как нам известен радиус описанной около треугольника окружности, то воспользуемся формулой:
$R= \frac{c}{ \sqrt{3} } ; \\ c=R* \sqrt{3} =2 \sqrt{3} * \sqrt{3} =6.$
Найдем площадь правильного треугольника:
$S= \frac{ c^{2} \sqrt{3} }{4} = \frac{36 \sqrt{3} }{4} =9 \sqrt{3}$.
ответ: $9 \sqrt{3}$ см.