Объяснение:
1. В прямоугольных треугольниках Δ ADN и Δ DFC ∠A = ∠ C по свойству параллелограмма. ⇒ Треугольники подобны по первому признаку. На основе пропорциональности длин сходственных сторон имеем пропорцию:
AD/DC = DN/DF/
DF = 3.5*4/5 = 2.8
2. В треугольниках CFM и CAB ∠F = ∠ A, ∠ M = ∠ B как соответственные при FM║AB. ⇒ Треугольники подобны по первому признаку.
AC/CF = AB / FM
FM = 18*30/(18+27) = 12
AC/CF = CB/CM
CB = 45*15/18=37.5
ВМ = СВ - СМ = 37.5 - 15 = 22,5
3. В треугольниках АВС и ВСD ∠ C общий, ∠В = ∠D по условию задачи ⇒ Треугольники подобны по первому признаку.
АВ/AС = BD / BC
AC = 9*15.6/12 = 11.7
4. В прямоугольных треугольниках АВС и АМF ∠А общий. ⇒ Треугольники подобны по первому признаку.
АС/ВС = AF/MF
АС = 24*9/12 = 18
АВ/ВС = АМ/MF.
AM найдем по теореме Пифагора = √(9²+12²) = 15
АВ = 24*15/12=30
О1 и О2 - центры окружностей.
Легко увидеть, что АО1 и АО2 - биссектрисы углов, которые образуют эти касательные. Поскольку сумма этих углов 180 градусов, то угол О1АО2 - прямой :).
Далее, ясно, что АВ перпендикулярно О1О2, то есть АВ - высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике О1АО2. Она делит это треугольник на два, ему же и подобных (и между собой подобных) треугольника О1АВ и О2АВ. Поэтому
АВ/О1В = О2В/АВ;
O2B = 6^2/4 = 9.