Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы (назовем эту точку О). Координаты середины отрезка ВС: х = (- 3 + 1)/2 = - 1 у = (2 + 0)/2 = 1 Итак, прямая проходит через точки А(- 3 ; 0) и О(- 1 ; 1)
Уравнение прямой: y = kx + b Подставим координаты точек А и О в уравнение: 0 = -3k + b 1 = - k + b это система уравнений. Вычтем из второго первое: 1 = 2k b = 3k
На чертеже все обозначения и дополнительные построения. Я пронумеровал окружности, чтобы не писать каждый раз "окружность, описанная вокруг..." 1) Точка K соединяется с B и C, точка L - с A и D; BC II AD => ∠BDA = ∠DBC; ∠CKO = ∠CBO; как вписанные в окружность 3; ∠ALO = ∠ADO; как вписанные в окружность 4; => ∠ALK = ∠ CKL (это тот же угол, что и ∠CKO, я сразу предупреждаю, что надо внимательно следить за тем, какие объекты соответствуют обозначениям) => KC II LA; совершенно аналогично через пару углов ∠OAD = ∠OCB; и равные им углы ∠KLC и ∠BKL доказывается KB II LD; 2) Если продлить KB, KC, LD и LA (если нужно, тут возможны варианты, в случае, изображенном на чертеже, продлевать LA не нужно) до взаимного пересечения, то получится параллелограмм KNLP; Точка N лежит на окружности 1, потому что ∠ANB = ∠ALD (так как KN II LD) а ∠BOA = 180° - ∠AOD = (поскольку четырехугольник AOLD вписан в окружность 4) = 180° - (180° - ∠ALD) = ∠ALD; То есть хорда AB окружности 1 видна из точек O и N под одинаковым углом. Поэтому они лежат на одной окружности 1. По пути я доказал, что ∠BOD = ∠COD = ∠ALD (все эти углы составляют 180° в сумме с ∠AOD); Поскольку ∠KPL + ∠ALD = 180° (так как KP II LA), то четырехугольник CODP вписан в окружность 2, и точка P лежит на ней. 3) Теперь я проведу из точки N прямую NM до пересечения с окружностью 2 в точке P1. (Её нет на чертеже, и сейчас станет ясно, почему.) ∠ANM = 180° - ∠AOM = ∠MOC = 180° - ∠CP1M; то есть AN II CP1; поскольку через точку C можно провести только одну прямую, параллельную AN, точка P1 совпадает с P. 4) Таким образом, доказано, что диагональ NP параллелограмма KNLP проходит через вторую общую точку окружностей 1 и 2, то есть через точку M. Разумеется, M - середина второй диагонали KL (точка пересечения диагоналей параллелограмма), что требовалось доказать, и одновременно - середина NP.
180 - (25 + 65) = 180-90 = 90° - третий угол треугольника прямой ⇒
треугольник прямоугольный