Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника abc проведен к его плоскости перпендикуляр ko. докажите, что наклонные ka, kb и kc равны. вычислите длины проекций этих наклонных на плоскости треугольника, если ac=bc=a.
проводим перпендикуляр OK из точки O имеем 3 прямоугольных треугольника AOK BOK COK доказываем равенство этих треугольников по 2м сторонам и углу между ними
AO = OB = OC угол AOK = угол BOK = угол COK = 90 OK - общая сторона
т.к. треугольники равны значит соответствующие стороны тоже равны
длины проекции этих наклонных это AO BO CO находим по теореме Пифагора
По первому признаку подобия треугольников имеем, что данные равнобедр.треуг. подобны. Коэффициент их подобия равен как отношению соотв.сторон, так и отношению периметров. Найдем боковые стороны первого треугольника. Высота к основанию является также медианой, значит по теореме Пифагора боковая сторона равна кореньиз(64+36)=10. Периметр первого треугольника равен 10+10+16=36. Коэффициент подобия k=54/36=3/2=1,5. Значит боковые стороны второго равнобедр.треугольника равны 10*1,5=15 см, а основание равно 16*1,5=24 см.
Если ВА⊥АD, то ∠А=90(по опр.перпендикуляра), и ∠В=90, так как ВА⊥ВС, так как ВС∫∫АD(по св-ву парал. прямых) ⇒ АВСD - прямоугольная трапеция( по опр.). Проведем высоту СМ. И рассмотрим получившийся четырехугольник ВАМС, это прямоугольник, так как ∠А=∠В=90, и ∠М=∠С=90(по опр. высоты) ⇒ВА=СМ=6, и ВС=АМ=6. Рассмотрим ΔСМD: СМ мы провели так, что она разделила ∠ВСD=135, на ∠МСВ=90 и ∠МСD=45. Если ∠МСD=45, а ∠СМD=90(по опр. высоты), то ∠СDM=45(по теореме о сумме ∠ в Δ) ⇒ ΔСМD - равнобедренный (по признаку) ⇒ СМ=MD=6(по опр. равноб. Δ) Найдем основание трапеции: АМ+МD 6+6=12
ОА=ОВ (по условию)
ОС- медиана - радиус описанной окружности, =>
OA=OB=OC
ОА, ОВ, ОС - проекции наклонных КА, КВ, КС =>
КА=КВ=КС - равные наклонные имеют равные проекции
по условию АС=ВС=а, => ΔАВС прямоугольный равнобедренный
по теореме Пифагора: АВ²=АС²+ВС²
АВ²=2а². АВ=а√2
АО=ОВ=ОС=а√2/2 длины проекций наклонных на плоскость ΔАВС