1. Угол между наклонной к плоскости и плоскостью - это угол между наклонной и ее проекцией на плоскость. Искомый угол - угол МАО. Высота правильного треугольника равна h=(√3/2)*a = (√3/2)*2√3=3. АО=(1/3)*h = 1 (свойство медианы). Tg(<MAO) = MO/AO = √3.
ответ: α = arctg√3 = 60°
2. Искомый угол - угол между наклонной и ее проекцией, то есть угол АВК. Sin(<ABK) = KA/KB = AC*tg60/5 = 5√3/11. <ABK = arcsin(0,787) ≈ 51,9°.
3. Опустим перпендикуляры SP и SH из точки S к сторонам АВ и АD соответственно. Прямоугольные треугольники APS и AHS равны по гипотенузе и острому углу. Значит АР=АН и АРОН - квадрат. тогда АО = АН*√2 (диагональ квадрата), АS = 2*АН (в треугольнике ASH катет АН лежит против угла 30°, а AS - гипотенуза). Косинус искомого угла (между наклонной AS и плоскостью АВСD, равного отношению проекции наклонной к наклонной) = АО/AS = АН√2/(2*АН) = √2/2.
ответ: искомый угол равен 45°.
S₀=¹/₂ AC·BC = ¹/₂·6·8 = 24 (см²)
2. Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный (основание призмы) (∠С=90°)
АС²+ВС²=АВ² - (по теореме Пифагора)
АВ=√(АС²+ВС²) = √(36+64) = √100 = 10 (см)
3. Рассмотрим большую боковую грань - прямоугольник АВВ₁А₁
S=AB·AA₁
AA₁ = S : AB = 50:10 = 5 (cм) - высота
4. Находим объем призмы.
V=S₀ h
V=24·5=120 (см³)
ответ. 120 см³