Сечение через вершину пирамиды и высоту основания. В сечении треугольник, одна сторона - боковое ребро, другая - высота боковой грани (апофема), "нижняя" - высота основания. Высота ПИРАМИДЫ является высотой этого треугольника, её основание делит "нижнюю" сторону на части в отношении 1/2, считая от апофемы. Угол между апофемой и "нижней" стороной задан - это 45 градусов (плоскость сечения очевидно перпендикулярна боковой стороне, поскольку есть 2 прямые в этой плоскости, перпендикулярные ей... на самом деле даже 3 навскидку - высота пирамиды, высота основания и апофема, но достаточно 2:)). Итак. Перпендикуляр из основания высоты треугольника на боковую сторону равен корень(6). Поэтому расстояние от основания высоты до вершины равно корень(6)*корень(2) = 2*корень(3). А вся "нижняя" боковая сторона в 3 раза больше. Нас интересует так же апофема, она равна 2*корень(3)/(корень(2)/2) = 2*корень(6), это можно было увидеть и без вычислений - прямоугольные треугольники с углом 45 градусов - равнобедренные :)) и гипотенуза всегда равна удвоенной медиане; Осталось вычислить сторону основания. В равносторонем треугольнике высота 6*корень(3), значит сторона 12 (поделили на синус 60 градусов).Sбок = 3*12*(2*корень(6))/2 = 36*корень(6);
Проекция апофемы на основание ОК = √6*√2 = √12 = 2√3. Высота треугольника основания h и высота пирамиды H равны: h = H= 3*ОК = 3*2√3 = 6√3 (по свойству медиан). Сторона основания а = h / (√3/2) = (6√3) / (√3/2) = 12 см. Площадь основания So = (1/2)*h*a = (1/2)*6√3*12 = 36√3 см². Апофема боковой грани равна А = ОК / sin 45° = (2√3) /(√2/2) = = (4√3)/√2 = 2√6 см. Площадь боковой грани Sбг = (1/2)*А*а = (1/2)*2√6*12 = 12√6. Площадь боковой поверхности пирамиды Sбок = 3*Sбг = 3*12√6 = 36√6 см². Площадь полной поверхности пирамиды S = So + Sбок = = 36√3 + 36√6 = 36(√3 + √6) = 150.5355 см².
