В равнобедренном треугольнике с периметром 32 см длина отрезка, соединяющая середины боковых сторон, равна 6 см. Найдите диаметр окружности, вписанной в этот треугольник
Объяснение:
Т.к. средняя линия 6 см , то основание 12 см , по т. о средней линии.
Тогда равные боковые стороны (32-12):2=10 ( см).
d=2r , а радиус можно найти из формулы S=1/2*P*r.
Площадь треугольника можно найти по ф. Герона ,
р=32:2=16 , р-а=16-10=6, р-в=16-10=6 , р-с=16-12=4,
S=√( 16 *6*6*4)=4*6*2=48 (см²)
S=1/2*P*r , 48=1/2*32*r , r=3 см ⇒ d=6 см
Формула Герона S= √p (p−a) (p−b) (p−c) , полупериметр p= 1 ÷2 *(a+b+c).
ответ: ∠ВАС = ∠ВСА = 30 ° ; ∠АВС = 120° .
Условия задачи:
Δ АВС - равнобедренный , следовательно:
Боковые стороны равны ⇒ АВ=ВС = 14,2 см
Углы при основании равны :
АС - основание ⇒ ∠BAC (∠BAD) = ∠BCA (∠BCD)
BD =7,1 см - высота к основанию АС ⇒ является медианой и биссектрисой :
∠BDA = ∠BDC = 90° ( т.к. BD - высота)
AD = DC = АС/2 (т. к. BD - медиана)
∠ABD = ∠CBD (т. к. BD - биссектриса)
ΔBDA = ΔBDC - прямоугольные треугольники
Решение.
1) ΔBAD
По условию катет BD = 7,1 см , гипотенуза АВ = 14,2 см , следовательно :
BD = 1/2 * AB = 1/2 * 14,2 = 7,1 см
Если катет равен половине гипотенузы, то угол лежащий против этого катета равен 30° ⇒∠DAB (∠ BAC) = 30°
Проверим по определению синуса:
sin A = 7/14 = 1/2 ⇒ ∠BAC (∠BAD ) = ∠BCA (∠BCD) = 30°
2) ΔАВС :
Сумма углов любого треугольника = 180°
∠АВС = 180° - (∠ВАС + ∠ВСА)
∠АВС = 180 - 2*30 = 120 °
Доказано.