Пусть h1≤h2≤h3 - высоты треугольника (h1- наименьшая). Можно воспользоваться известным соотношением: 1/r=1/h1+1/h2+1/h3. Отсюда 1/r≤3/h1, т.е. при r=1 получаем h1≤3. Это значение, очевидно достигается в равностороннем треугольнике. Т.е. ответ 3.
P.S. Доказать 1/r=1/h1+1/h2+1/h3 можно так: если h1, h2, h3 - высоты проведенные к сторонам а, b, c, то по формуле площади треугольника 1/h1=a/(2S), 1/h2=b/(2S), 1/h3=c/(2S), откуда 1/h1+1/h2+1/h3=(a+b+c)/(2S)=1/r, т.к. S=pr, где p - полупериметр.
Обозначил меньшее основание - а, большее основание - b. Тогда периметр трапеции, с учётом условия равенства меньшего основания и боковых сторон, можно записать так Р=3*а+b. Площадь трапеции выглядит так: S=1/2*(a+b)*h, подставим известные нам значения 128=1/2*(a+b)*8 или a+b=(128*2)/8; a+b=32. Выразим из последнего уравнения b и подставим его в уравнение периметра: b=32-a; P=3*a+32-a; получим 52=2*а+32; 2а=52-32; 2а=20; а=10 см. b=32-10=22 см. Получили, что боковые стороны и меньшее основание равны 10 см, а большее основание равно 22 см.
Так как призма прямая и в основании квадрат, все углы между ребрами прямые. Между пересекающимися боковым ребром и диагональю основания, а так же пересекающимися стороной основания и диагональю боковой грани уголы прямые (если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку пересечения). По теореме Пифагора находим: (17^2-15^2)=64 - квадрат диагонали основания. 64/2 = 32 - квадрат стороны основания. 32 + 15^2 = 32+225 =257 - квадрат диагонали боковой грани \|257 (см) - диагональ боковой грани
P.S. Доказать 1/r=1/h1+1/h2+1/h3 можно так: если h1, h2, h3 - высоты проведенные к сторонам а, b, c, то по формуле площади треугольника
1/h1=a/(2S), 1/h2=b/(2S), 1/h3=c/(2S), откуда 1/h1+1/h2+1/h3=(a+b+c)/(2S)=1/r, т.к. S=pr, где p - полупериметр.