1. Пирамида правильная, значит в основании правильный треугольник, боковые ребра равны и составляют с плоскостью основания одинаковые углы. Высота пирамиды проецируется в центр основания.
ΔSOA: ∠SOA = 90°, SO = SA · sin60° = 6 · √3/2 = 3√3 см
OA = SA · cos60° = 6 · 1/2 = 3 см
ОА - радиус окружности, описанной около правильного треугольника:
ОА = АВ√3/3
АВ = ОА√3 = 3√3 см
Sabc = AB²√3/4 = 27√3/4 см²
V = 1/3 · Sabc · SO = 1/3 · 27√3/4 · 3√3 = 81/4 см³
2. Так как пирамида вписана в конус, то основание пирамиды - прямоугольный треугольник - вписано в основание конуса. Центр основания конуса будет находиться на середине гипотенузы. Высота пирамиды совпадает с высотой конуса - SO.
Пусть ВС = 2а, ∠АВС = 30°.
Проведем ОК⊥ВС. ОК - проекция SK на плоскость основания, значит и SK⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах. Тогда ∠SKO = 45° - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани SBC к основанию.
Так как и АС⊥ВС, то ОК║АС. ОК - средняя линия ΔАВС по признаку (проходит через середину стороны АВ и параллельна третьей стороне).
ΔАВС: AB = BC / cos30° = 2a / (√3/2) = 4a√3/3
R = AB/2 = 2a√3/3 - радиус основания конуса,
Sосн = πR² = 4a²π/3
АС = ВС · tg30° = 2a/√3 = 2a√3/3
ОК = АС/2 = а√3/3 как средняя линия,
ΔSKO прямоугольный, равнобедренный, ⇒
SO = OK = a√3/3.
Vконуса = 1/3 · Sосн · SO
Vконуса = 1/3 · 4a²π/3 · a√3/3 = 4a³√3/27
Смотрим Δ, в котором катет = R, второй катет = х и гипотенуза = 2х
По т. Пифагора 3х² = R²⇒ x = R√3/3 ( это половина стороны описанного 6-угольника) Вся сторона = 2R√3/3
ответ: R: 2R√3/3 = √3/2