Question

Впрямоугольном треугольнике проведены высота и биссектриса прямого угла равны 5 и 7. найдите площадь треугольника.

Answer 1

ΔАВС , ∠С=90°  ,  СН⊥АВ  ,  СМ - биссектриса ⇒ ∠АСМ=∠ВСМ=45°
СН=5  ,  СМ=7
   ΔСМН- прямоугольный , ∠СНМ=90°  ⇒  сos∠МCН=CH/CM=5/7
   Обозначим ∠МСН=α  ⇒сosα=5/7
ΔBCH - прямоугольный ,  ∠СНВ=90° , ∠ВСН=45°-∠МСН=45°-α
BC= CH/cos∠BCH =5/cos(45°-α)
cos(45-α)=cos45·cosα+sin45·sinα=√2/2·(cosα+sinα)
BC=5√2/(cosα+sinα)
    ΔАСН - прямоугольный , ∠СНА=90° , ∠АСН=∠АСМ+∠МСН=45°+α
    АС=CH/cos∠ACH=5/cos(45°+α)
    cos(45+α)=cos45·cosα-sin45°·sinα=√2/2·(cosα-sinα)
    AC=5√2/(cosα-sinα)
S(ABC)=1/2·AC·BC

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{5\sqrt2}{cos \alpha -sin \alpha } \cdot \frac{5\sqrt2}{cos \alpha +sin \alpha } = \frac{25\cdot 2}{2\cdot (cos^2 \alpha -sin^2 \alpha )} = \frac{25}{cos2 \alpha }\\\\cos2 \alpha =2cos^2 \alpha -1=2\cdot (\frac{5}{7})^2-1=2\cdot \frac{25}{49}-1= \frac{50-49}{49} =\frac{1}{49} \\\\S_{ABC}= \frac{25}{ \frac{1}{49}}=25\cdot 49= 1225$