Пусть в тр-ке АВС найдена такая точка М. Тогда есть две окружности. Одна с центром в точке О1, касается стороны АВ в точке E, отрезка АМ в точке Р и стороны ВС в точке Р1. Очевидно, что АР = АE, BE = BР1, MP1 = MP; Вторая окружность с центром О2 касается стороны АС в точке Т, отрезка АМ в точке Р и стороны ВС в точке Р2. АР = АТ, СТ = СР2, МР2 = МР.
Всё, что надо сообразить :) - что АЕ = АТ (оба эти отрезка равны АР).
Отметим на стороне АВ точку Е1 так, что ВЕ1 = ВЕ + МР, АЕ1 = АЕ - МР. Аналогично отметим точку Т1 на АС так, что СТ1 = СТ + МР, АТ1 = АТ - МР.
Рассмотрим три точки М, Е1, Т1. Они обладают следующими свойствами:
АЕ1 = АТ1, ВЕ1 = ВМ, СМ = СТ1.
Нетрудно понять, что это - точки касания вписанной в АВС окружности.
Доказать это проще простого - рассмотрим систему
x + y = a;
x + z = b;
z + y = c;
решение (выписывать его нет нужды) такой системы единственно. Это - всё доказательство (ну, если кто не понял, точки касания вписанной окружности делят стороны именно так, а раз это можно сделать единственным то ...). :)
Поэтому точка М - это точка касания стороны ВС вписанной окружностью.
F1D1²=:F1E1²+D1E1²-2*:F1E1*D1E1*cos<F1E1D1=
=34²+34²-2*34²*(-1/2)=3*34²
F1D1=34√3
ΔD1DF1:<F1D1D=90,DD1=34,F1D1=34√3
tg<D1DF1=F1D1/D1D=34√3/34=√3
<F1DD1=60