Решение задачи начинаем с рисунка.
Постараемся сделать его по возможности соразмерным данным задачи.
АС=3 АВ
АМ=МС - так как медиана ВМ делит АС пополам,
∠ВАР=∠РАС, так как АВ биссектриса и делит угол А пополам. ( В решении равенство углов не пригодится).
Для того, чтобы проще было следить за решением, обозначим площадь ᐃ АВС=S
Площади треугольников с равной высотой и равными основаниями равны.
Так как АМ=МС, а высота у них одна и та же,
площадь ᐃ АВМ=площади ᐃ МВС=0,5 S
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную
сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон
Следовательно, ВР:РС=АВ:АС=1:3
Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).
Площади Δ ВАР и Δ РАС, имеющих общую высоту, относятся как 1:3
Площадь АВС=S =4 площади треугольника ВАР.
Площадь Δ ВАР=1/4S=0,25 S
⇒ площадь Δ РАС =S- 0,25 S = 0, 75 S
Рассмотрим треугольник АВМ.
АК- биссектриса угла АВМ
АМ=АС:2=3 АВ:2=1,5 АВ
Отсюда ВК:КМ=АВ:1,5 АВ (смотри свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника)
ВК:КМ=1:1,5
Площадь Δ АВМ= 0,5 S
0,5 S= площадь треугольника МАК+КАВ=2,5 площ Δ КАВ
Площадь Δ BАК=0,5 S:2,5= 0,2 S
Площадь Δ МАК=1,5 площ. КАВ =0,2*1,5= 0,3 S
Площ. МКРС=пл РАС - пл МАК
Площ. МКРС=0,75 S - 0,3 S= 0,45 S
Площадь Δ МАК : площ. МКРС=0,3 S : 0,45 S= 10/15=2/3
S(amb)=S(bmc) => S(amb = 1/2 S(abc)
Ak - медиана треугольника AMB, так как BK=KM
S(abk)=S(amk)=1/2 S(abm) = 1/4 S(abc)
Проведем ML параллельно AP
ML - средняя линия ACP (так как ML параллельна AP и AM=MC) =>PL=LC
KP - средняя линия BMP=>PL=PB
PL=LC; PL=PB =>PL=LC=PB
S(bkp)/ S(mbc)= 1/2* sinB * BK* BP/1/2* sinB * BM*BC ( при этом мы знаем, что BK=1/2 BM и BP = 1/3 BC)=> S(bkp)/ S(mbc)=1/6
S(bkp)/ S(mbc)=1/6 => S(cmkp)/ S(mbc)=5/6 => S(cmkp)/ S(abc) = 5/12
S(mbc)/S(cmkp) = 1/4 S(abc)/ 5/12S(abc)= 3/5
P.s решение от krosch5.
Тогда 3х ° - угол В
Сумма углов в треугольнике равна 180°
х + х + 3х = 180
5х = 180
х = 180 : 5
х = 36
∠А = 36°
∠С = ∠А = 36°
∠В = 3·36 = 108°
ответ: ∠С = ∠А = 36°, ∠В = 108°