1) Высота прямоугольного треугольника АВС равна 24см и отсекает от гипотенузы
отрезок ДС, равный 18 см.
Найдите АВ и cos А.
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между
гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Проекция АД катета АВ на гипотенузу равна разности между длиной гипотенузы и длиной отрезка ДС
АД= АС-ДС=24-18=6 см
АВ²=6*24=144
АВ=√ 144=12
cos А=АД:АВ=6:12=1/2
2) В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 3 см, большая боковая
сторона равна 4 см, а один из углов трапеции 150градусов. Найдите площадь
трапеции.
Угол 150° - угол при большей боковой стороне.
Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°.
Острый угол, образованный этой стороной и основанием равен
180°-150°=30°.
Опустим высоту из тупого угла на большее основание трапеции.
Так как высота противолежит углу 30°, ее длина равна половине длины боковой стороны и равна 4:2=2 см
Высота равна меньшей боковой стороне, так как трапеция прямоугольная, и она отсекла от трапеции треугольник ( из которого мы находили ее величину) и прямоугольник со сторонами, равными высоте и меньшему основанию.
Большее основание равно меньшему основанию плюс длина катета прямоугольного треугольника, образованного высотой и боковой стороной.
Найдем длину этого катета по теореме Пифагора:
х²=4²-2² =16-4=12
х=2√3
Большее основание равно 3+2√3
Площадь трапеции равна ½ произведения ее высоты на сумму оснований.
S=2·( 3+3+2√3):2= 6+2√3=2(3+√3) cм²
3) Диагональ АС прямоугольника АВСД равна 3 см и составляет стороной АД угол
37°.Найдите площадь прямоугольника АВСД.
Прямоугольник - параллелограмм.
Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними
S=(D·d·sin α ):2
S=(D·d·sin β ):2 ( синусы углов, дополняющих друг друга до 180°, равны )
D - большая диагональ
d - меньшая диагональ
α, β - углы между диагоналями
Диагонали АС и ВД прямоугольника равны. Точкой пересечения они делятся пополам. Поэтому с каждой из сторон они образуют равнобедренные треугольники АОД и АОВ, в которых боковые стороны - половина диагонали, основание - сторона прямоугольника.
Пусть угол АОД = α
Угол α между диагоналями равен 180°-2*37°=106°.
Sin(106°)= 0.9613
S=(3·3·0.9613):2 ≈ 4,33 см²
