Сечением будет равнобедренная трапеция, т.к. основания призмы лежат в параллельных плоскостях, то секущая плоскость их будет пересекать по параллельным прямым.
Пусть К и М середины рёбер АС и ВС, тогда МК средняя линия, по свойству она параллельна третьей стороне АВ и равна её половине - 4 см (стороны основания равны по 8см)
Секущая плоскость проходит через точку А1 и параллельна МК, т.е. совпадает с А1В1 (МК II АВ II А1В1). А1В1МК - трапеция с основаниями А1В1=8см и МК=4см
Боковые стороны равны из равенства прямоугольных треугольников АА1К и ВВ1М (по двум катетам). А1К и В1М - гипотенузы этих треугольников. Их находим по теореме Пифагора √3²+4²=√9+16=√25=5см.
Р=4+8+2·5=22см
1)Проведу прямую через точку C трапеции ABCD,такую, что СE || BD. (здесь E - точка пересечения с продолжением основания трапеции AD). Поскольку СE || BD, а DE || BC - по определению трапеции, то DBCE - параллелограмм. а в нём противоположные стороны равны. Значит, CE = BD = 12.
2)Теперь можно рассмотреть ΔACE. Найду его стороны.CE = 12, AC = 16 - по условию. AE = AD + DE, а так как противоположные стороны в параллелограмме равны, то DE = BC. Следовательно,
AE = AD + BC.
Мы знаем, что средняя линия равна полосумме оснований.
Отсюда следует, что AD + DE = 10 * 2 = 20
Итак, AE = 20.
3)проведу высоту CH(пусть она будет обозначена как h). Далее можно заметить из того же треугольника, что 20² = 12² + 16², следовательно в этом треугольнике выполняется теорема Пифагора, откуда получаем, что он - прямоугольный. Видим, что высота h проведена к гипотенузе, значит, её можно расчитать по формуле h = ab/c, где a,b - катеты, c - гипотенуза.
Получаем, h = 16 * 12 / 20 = 9.6
4)Площадь трапеции равна произведению полосуммы оснований на высоту или произведению средней линии на высоту, значит
S = 10 * 9.6 = 96 - это площадь трапеции.
с²= 5²+х²=25+х², с=√(25+х²),
Периметр Р=5+х+√(25+х²)=12, √(25+х²)=7-х, (0<х<7), возведем в квадрат
обе части , 25+х²=49-14х+х², 14х-24=0, 7х-12=0, х=12/7,
с= Р-5-12/7= (12*7-5*7-12)/7=(84-47)/7=37/7
ответ: катет в=12/7, гипотенуза с=37/7