Question

Стороны ac, ab, bc треугольника abc равны 2√5,√7 и 2 соответственно. точка k расположена вне треугольника abc, причём отрезок kc пересекает сторону ab в точке, отличной от b. известно, что треугольник с вершинами k , a и c подобен исходному. найдите косинус угла akc, если ∠kac> 90гр

Answer 1

АВ=√7, ВС=2, АС=2√5.
Нужно найти какой их углов треугольника АВС больше 90°. По всем канонам это угол В. Проверим это по теореме косинусов.
cosB=(АВ²+ВС²-АС²)/(2АВ·ВС)=(7+4-20)/(2√7·2)=-9/4√7.
cosB<0, значит ∠В>90°.
В тр-ках АВС и АКС ∠АВС=∠КАС (ведь они оба больше 90°). Исходя из их подобия, того, что сторона АС у них общая и с учётом того, что стороны АВ и КС пересекаются не в точке В, градусная мера угла С в тр-ке АКС не должна совпадать с градусной мерой угла С в тр-ке АВС, значит ∠АСК=∠ВАС, следовательно ∠АКС=∠АСВ.
По теореме косинусов в тр-ке АВС cos(АСВ)=(АС²+ВС²-АВ²)/(2АС·ВС).
Итак, cos(АКС)=cos(АСВ)=(20+4-7)/(2·2√5·2)=17/8√5=17√5/40≈0.95 - это ответ.