Дан ромб с острым углом α = 30° и радиусом вписанной окружности r = 3 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом β = 60°.
В ромбе радиус вписанной окружности связан непосредственно со стороной через синус угла α. Сам радиус по определению представляет собой половину высоты ромба, которая равна стороне ромба, умноженной на синус угла α из образованного прямоугольного треугольника.
Высота в таком случае получается равна двум радиусам.
2r = a sinα.
Отсюда находим сторону а ромба и его периметр Р:
а = 2r/sinα = 2*3/0,5 = 12 см.
Р = 4а = 4*12 = 48 см.
Находим апофему А:
А = r/cos β = 3/cos 60° = 3/0,5 = 6 см.
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*48*6 = 144 см².
По условию треугольники АВС, PQR и XYZ равны, значит, у них:
АВ = PQ = XY, значит, PQ = XY = 5 см;
СА = RP = ZX, значит, СА = RP = 7 см;
ВС = QR = YZ, значит, ВС = YZ = 6 см;
ответ: PQ = 5 см, XY = 5 см, СА = 7 см, RP = 7 см, ВС = 6 см, YZ = 6 см.