Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 90°.
Найти отношение боковой поверхности этой пирамиды к площади ее основания.
Площадь правильного треугольника - а основание правильной пирамиды - правильный треугольник
S=(a²√3):4
Площадь боковой поверхности - это площадь трех граней пирамиды.
Каждая грань - равнобедренный треугольник с основанием а, равным стороне правильного треугольника в основании пирамиды, и высотой h=апофеме.
S=ah:2
Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно найти апофему.
Угол АSC- прямой.
Треугольник ASC - прямоугольный равнобедренный.
Апофема грани пирамиды - высота и медиана этого треугольника.
Медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы.
Высота SM равна половине АС и равна а:2
Площадь треугольника АSС=(а*а:2):2=а²:4
Площадь боковой поверхности равна 3а²:4
Отношение боковой поверхности этой пирамиды к площади ее основания
Sбок:S ᐃ АВС=(3а²:4):{(a²√3):4}=√3
Рассмотрим треугольник АВН.
Поскольку угол ∠ВАН=60, то угол ∠АВН=90-60=30.
sin∠АВН=sin 30=AH/BH
AH/BA=1/2
0.5*BA=AH
Рассмотрим ΔCH₁D
∠H₁CD=90-∠H₁DC=90-60=30
sin ∠H₁CD=sin30=H₁D/CD
H₁D/CD=1/2
0.5*CD=H₁D
Поскольку трапеция равнобедренная, то
HH₁=BC
AB=CD
AD=HH₁+AH+H₁D=HH₁+0.5AB+0.5CD=BC+0.5AB+0.5AB=BC+AB ⇒
BC=AD-AB что и требовалось доказать.