Первый Пусть BK и CM — медианы треугольника ABC, O — их точка пересечения и AC > AB. Обозначим OM = x, OK = y. Тогда OC = 2x, OB = 2y. По теореме косинусов из треугольников MOB и KOC находим, что BM2 = x2 + 4y2 − 4xy cos ∠MOB, CK2 = 4x2 + y2 − 4xy cos ∠KOC. Поскольку BM = 1 2 AB, KC = 1 2 AC, то BM2 < KC2, или x2 + 4y2 < 4x2 + y2 (∠MOB = ∠KOC). Отсюда следует, что x > y. Поэтому CM = 3x > 3y = BK. Второй Пусть BK и CM — медианы треугольника ABC, O — их точка пересечения и AC > AB. Проведём медиану AN. В треугольниках ANB и ANC сторона AN — общая, BN = CN, а AB < AC, поэтому ∠ANB < ∠ANC (см. задачу 3606). В треугольниках ONB и ONC сторона ON — общая, BN = CN, а ∠ONB < ∠ONC, поэтому OB < OC. Следовательно, BK = 3 2 OB < 3 2 OC = CM.
1. Для любых двух точек на плоскости с координатами А(Хa;Ya) и В(Хb;Yb) квадрат расстояния между ними по Пифагору равен: d²=(Xa-Xb)²+(Ya-Yb)². Для окружности с центром в точке В по определению это расстояние одинаково для ЛЮБОЙ точки А и равно R. Таким образом, R²=(X-Xb)²+(Y-Yb)².
2. Пусть точка С - середина отрезка АВ. Тогда модули разности координат равны, то есть |Xc-Xb|=|Xa-Xc| (1) и |Xa-Xc|=|Ya-Yc| (2). Из (1) имеем: а) Xc-Xb=Xa-Xc => 2Xc=Xa+Xb и Xc=(Xa+Xb)/2. б) Xс-Xb=-(Xa-Xc) => Xb=Xa, что невозможно. Точно так же и для (2). Значит C((Xa+Xb)/2;(Ya+Yb)/2). В нашем случае: А(-3;4) и В(3;-6). Тогда С((-3+3)/2;(4+(-6)/2)) или С(0;-1). ответ: С(0;-1).
В 1.96 раз, если я хорошо помню свойства площадей и объемов.