1. Центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на высоте, проведённой к основанию треугольника.
Верно не всегда. Если угол при вершине треугольника тупой, то центр описанной окружности лежит на продолжении высоты, проведенной из вершины, вне треугольника.
2. Если в треугольнике АВС углы А и В равны соответственно 40 и 70, то внешний угол при вершине С этого треугольника равен 70.
Неверно. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Значит внешний угол при вершине С равен 40° + 70° = 110°.
3. Все хорды одной окружности равны между собой.
Не верно. Хорда - отрезок, соединяющий любые две точки окружности. На рисунке АВ ≠ CD.
Из того, что сумма углов при основании АД равна 90º, следует, что продолжение АВ и СД пересекаются под углом 90º. Достроим трапецию до прямоугольного треугольника АКД треугольники ВКС и АКД - подобны. ∠ К в них - общий,ВС||АД,∠ КСВ=∠КДА по свойству углов при пересечении параллельных прямых секущей. Коэффициент подобия АД:ВС=46:23=2 Тогда АК:ВК=2 АК=АВ+ВК (АВ+ВК):ВК=2 (10+ВК):ВК=2 10+ВК=2ВК ВК=10 Пусть точка касания окружности и прямой СД будет М Соединим центр О окружности с вершиной В трапеции и точкой касания М. Так как углы ОМК и АКМ прямые, ОМ и АК - параллелльны. Рассмотрим треугольник АОВ.Его стороны АО и ОВ, являясь радиусами окружности, равны. Треугольник АОВ - равнобедренный. Проведем в нем высоту ОН.Эта высота - и медиана ( треугольник ведь равнобедренный).Следовательно, НВ =АВ/2=10/2=5. Рассмотрим четырехугольник НКМО.Это прямоугольник с равными сторонами НК=МО.МО - радиус окружности. НК=НВ+ВК=5+10=15 МО=НК=15 Радиус окружности равен 15.
