Обозначим трапецию АВСD.
Точки Н и Т делят сторону СD на отрезки
СН=НТ=ТD.
Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. ⇒
ВК=КР=РА.
Средняя линия трапеции АВСD - отрезок МN=(ВС+AD):2=(2+5):2=3,5 (м)
СH=HT=TD ⇒
HN=NT, поэтому
MN- средняя линия трапеции РКНТ.
Примем КН=х, РТ=у
Тогда х+у=2•3,5=7, откуда
у=7-х.
КН- средняя линия трапеции РВСТ
КН=(2+(7-х)):2=х
9-х=2х ⇒
х=3 (м) - длина отрезка КН
у=7-3=4 (м) - длина отрезка РТ
Пусть точки, делящие боковую сторону на 3 части называются М и К. Назовем параллельные основаниям прямые ММ1 и КК1. Рассмотрим трапеции АВСД и МВСМ1. Т.к. ММ1 || АД, а АВ - секущая к ним, то углы ДАВ и М1МВ равны. Аналогично доказываем, что угол АДС = ММ1С, значит эти трапеции подобные. Т.к. АК=КМ=МВ=АВ/3, то к-т подобия между трапециями МВСМ1 и АВСД = 1/3, т.е. ММ1:АД=1:3. Отсюда ММ1=14/3.
Аналогично трапеции КВСК1 и АВСД подобны с коэффицциентом 2/3, т.к. КВ:АВ=2:3. Значит КК1:АД=2:3, отсюда КК1=14*2/3=7/3
Из свойств медианы треугольника, имеем
Mb=(1/2)*sqrt(2*(a^2+c^2)-b^2)
в нашем случае
a=2*sqrt(97)
b=20
Mb=12
тогда
12=(1/2)*sqrt(2*(388+c^2)-400)
24=sqrt(2*(388+c^2)-400)
24=sqrt(376+2c^2
576=376*2c^2
200=2c^2
c^2=100 =>c=10
Площадь треугольника находим по формуле Герона
S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c),
где
p=(a+b+c)/2
p=(10+20+2sqrt(97))/2=15+sqrt(97)
S=sqrt((15+sqrt(97))*(15+sqrt(97)-sqrt(97))*(15+sqrt(97)-10)*(15+sqrt(97)-20))=sqrt(15+sqrt(97))*15*(5+sqrt(97)*sqrt(97)-5))=
=sqrt(15*(15+sqrt(97))*(97-25))=sqrt(15*72*(15+sqrt(97))=sqrt(1080*(15+sqrt(97))