Угол между плоскостью основания и противолежащей вершиной другого основания - это угол ОКС. Поскольку все ребра перпендикулярны основаниям, то треугольник КОС - прямоугольный с прямым углом С. И поскольку угол ОКС = 30 градусов, то катет ОС равен половине гипотенузы ОК как катет, что лежит против угла 30 градусов. ОК = 2СО = 6*2 = 12 см. Из теоремы Пифагора: CK^2 = OK^2 - OC^2, CK^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108, CK = 6 корней из 6. Из правильного треугольника АВС: высота СК = 6 корней из 3, которая является также и медианой, поэтому АК = КВ = СВ/2. Из прямоугольного треугольника СКВ: угол СВК = 60 градусов как угол правильного треугольника. По теореме синусов: СК/sin(CBK) = CB/sin(CKB), CB = 12. Площадь треугольника равна 36 корней из 3 см^2. Объем призмы равен площади основания, умноженного на высоту: V = So*H = S(ABC)*OC = 108 корней из 3 см^3.
Если острый угол ромба равен 60°, то его меньшая диагональ равна стороне, так как ΔАКВ равнобедренный (АВ = АК как стороны ромба) с углом 60° при вершине, значит углы при основании тоже равны по 60° ((180° - 60°)/2 = 60°), значит он равносторонний. КВ = АВ = 3 см. Отрезок ВС перпендикулярен линии пересечения перпендикулярных плоскостей - АВ, значит он перпендикулярен плоскости ромба, а следовательно, и любой прямой, лежащей в этой плоскости. ВС⊥КВ. ΔВСК: ∠СВК = 90°, по теореме Пифагора КС = √(КВ² + ВС²) = √(9 + 9) = 3√2 см
