Пусть имеем прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В.
Биссектриса АЕ пересекает ВС в точке Е, ВЕ = 5, высота из В равна 7.
Примем ВС = х, АВ = у.
Тогда АС = √(х² + у²).
Свойство высоты из прямого угла:
7 = (АВ*ВС)/АС = ху/√(х² + у²). Отсюда ху = 7√(х² + у²).
Свойство биссектрисы:
5/у = (х - 5)/√(х² + у²).
Из этой пропорции получаем ху - 5у = 5√(х² + у²).
В этом уравнении заменим ху из первого свойства: ху = 7√(х² + у²).
7√(х² + у²) - 5у = 5√(х² + у²).
Отсюда получаем 2√(х² + у²) = 5у.
Возведём в квадрат:
4х² + 4у² = 25у² или 4х² = 21у², у² = 4х²/21, у = 2х/√21.
Возведём первое свойство в квадрат:
(х² * у²)/(х² + у²) = 49 и подставим у² = 4х²/21.
(х²*4х²)/(21*(х² + (4х²/21))) = 49.
4х^4/25x² = 49 или 4x² = 25*49.
Извлекаем корень: 2х = 5*7 = 35, отсюда х = 35/2 = 17,5.
Меньший катет - это АВ = у = 2х/√21 = 35/√21 = 5√21/3.
Пусть
Дано:
АВСД р/б трапеция
Р (АВСД = 42 см
ВС - меньшее осн = 3 см
АС - биссектр уг ВСД
ВН - высота
ВН - ?
1) Т к по усл АС - бисс уг ВСД, то уг ВСА = уг ДСА,
2) уг ВСА и уг САД являются внутренними накрест лежащими при ВС||AD и секущей АС, значит уг ВСА = уг САД и = уг АСД, а значит тр АСД - р/б с основанием АС по признаку р/б треугольника.
3) т к по усл АВСД - трап - р/б , то СА = СД и = АС из п2
4) Р(АВСД) = 42 см
Р(АВСД) = АВ + ВС + СД + ДА = ВС + 3 АВ
42 = 3 + 3 АВ
39 = 3 АВ
АВ = 13 (см) = ВД = ДА
5) Т к трапеция АВСД - р/б , то АД = 2АН + ВС => AH = (13 - 3 ) : 2 = 5 см
6) Рассм тр АВН ( уг Н = 90*, по условию ВН - высота)
АВ² = ВН²+АН²
ВН² = 169 - 25
ВН² = 144
ВН = 12 см -искомая высота трапеции
