центр этой окружности лежит на пересечении 2 прямых.
1. перпендикуляр к основанию (любому), через его середину.
2. то же к любой боковой стороне.
Эта точка равноудалена от 3 вершин трапеции (просто по построению, тут и нечего доказывать), и надо показать, что и четвертая вершина трапеции равноудалена от этой точки. Но это сразу следует из того, прямая, перпендикулярная одному из оснований и проходящая через его середину, то же самое делает и со вторым - она ему перпендикулярна и проходит через его середину (здесь-то и используется равнобедренность, в неравнобедренной трапеции второе основние не разделится перпендикуляром пополам). Следовательно, точки этой прямой равноудалены от концов второго основания.
Это всё.
По условию АО:СО=ВО:ДО=7:3 (основания АД>ВС).
Треугольники АОД и ВОС подобны (это одно из свойств трапеции), значит АД:ВС=7:3=7х:3х ⇒ АД+ВС=7х+3х=10х.
АД+ВС=2m=2·30=60 см, где m - средняя линия.
10х=60,
х=6.
АД=7х=42 см, ВС=3х=18 см - это ответ.