Угол АОВ вдвое больше АСВ - по свойству вписанного угла - центральный угол вдвое больше вписанного - 2*78=156 градусов. Угол АОD смежный с АОВ. Он равен 180-156= 24 градуса
АВ = CD так трапеция равнобедренная, ∠ВАС = ∠CDA как углы при основании равнобедренной трапеции, AD - общая сторона для треугольников ВАС и CDA, ⇒ ΔВАС = ΔCDA по двум сторонам и углу между ними, значит ∠CAD = ∠BDA.
Тогда ΔAOD равнобедренный прямоугольный. ΔВОС подобен ему по двум углам, значит тоже равнобедренный.
Проведем высоту трапеции КН через точку пересечения диагоналей. Для равнобедренных треугольников AOD и ВОС отрезки ОН и ОК - высоты и медианы, а в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине: КО = ВС/2 НО = AD/2, ⇒ KH = (AD + BC)/2 = 9 см, тогда AD + BC = 18 см
Pabcd = 2AB + AD + BC = 24 + 18 = 42 см
!Вообще, в если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, ее высота равна средней линии!
Рассмотрим треугольник АМВ. Он равнобедренный по условию (ВМ=АМ). Значит, углы при его основании АВ равны. <MBA=<MAB. Рассмотрим треугольник ВМС. Здесь <MBC=<ABC-<MBA=60-<MBA (углы равностороннего треугольника равны по 60 градусов). Рассмотрим треугольник АМС. Здесь <MAC=<BAC-<MAB=60-<MAB. Но <MBA=<MAB как показано выше, значит <MBC=<MAC. Тогда треугольники ВМС и АМС равны по двум сторонам и углу между ними: - ВС=АС, т.к. АВС - равносторонний треугольник; - ВМ=АМ по условию; - соответственные углы МВС и МАС равны как показано выше. В равных треугольниках ВМС и АМС равны соответственные углы МСВ и МСА, т.е. СМ - биссектриса угла АСВ.
