Question

1)длины катетов прямоугольного треугольника относятся как 3: 4, а длина гипотенузы равна 50 см. найдите площадь треугольника? 2)найдите площадь ромба,если длина его стороны равна а, а сумма длин диагоналей равна д. 3)диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой тупого угла.найти площадь трапеции,если его периметр равен 22 см,а длина большего основания равна 6 см. 4) дан прямоугольный треугольник abc,у которого ab=5м, ac=3м, bc=4м и [ad]-биссектриса.найдите площади треугольников acd и adb.

Answer 1

1.  Треугольник - египетский, его стороны относятся, как 3:4:5, тогда первый катет 30 см, второй 40 см

3.  Пусть АВСD - трапеция, угол В - тупой, АС - биссектриса, тогда угол ВСА = углу ACD и угол ВСА = углу CAD, как внутренние накрест лежащие при BC||AD и секущей AC/ Получили, треугольник ACD - равнобедренный (у него углы при основании равны), значит, CD=AD=6 см, а так как  трапеция равнобедренная, то AB=CD=6 см. 
По условию, периметр = 22 см, тогда AB+BC+CD+AD = 22
6+6+6+BC=22
18+BC=22
BC=22-18
BC=4 см

ответ: AB=AD=CD=6 см, ВС=4 см

 4. Площадь АСВ = 1/2 х ВС х СА  = 1/2 х 3х 4 = 6 cм квадратных
Пол свойству биссектрисы угла треугольника: DC: DB = 3:4, тогда 3Х+5Х=4

8Х=4
Х=0,5, тогда DС=1,5 см, площадь треугольника ACD равна 1/2 х DC x AC = о,5 х 1,5 х 3 = 2,25 cм квадратных, 
  а площадь треугольника ADC = 6 - 2,25 = 3,75 cм квадратных

ответ: 2,25  и  3,75  см квадратных

2.

Пусть ABCD - ромб, угол А - тупой, АС + BD = d  ( по условию сумма диагоналей ), сторона ВС = а. Тогда ВО + ОС = 0,5 d  (1), где О - точка пересечения диагоналей, по теореме Пифагора: ВО^2 + ОС^2 = a^2 (2)

(1) Возведем обе части уравнения в квадрат, получим
ВО^2 + 2 ВОхОС +ОС^2 = 0, 25 d^2  (1.1)

Подставим (2)  в (1.1), получим  
а^2  + 2 ВОхОС = 0, 25 d^2  (1.2)
2 ВОхОС = 0, 25 d^2 - а^2    

А площадь ромба равна 4 х площадь треугольника ВОС, то есть

2 ВОхОС = 0, 25 d^2 - а^2    

ответ: 0, 25 d^2 - а^2