Докажите теоремы если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны если сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны если соответственные углы равны, то прямые параллельны
3.2. Признаки параллельных прямых Cледующая теорема дает достаточные условия параллельности (т. е. условия, выполнение которых гарантирует параллельность) двух прямых. Иначе такую теорему можно назвать признаком параллельности прямых:
Теорема 3.1. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство До ознакомления с доказательством теоремы 3.1 необходимо изучить раздел 4.1 и теоремы 4.1 и 4.2 главы 4. Докажем теорему так называемым методом от противного: предположим, что условие теоремы выполнено, а именно: прямые AB и CD образуют с секущей AC равные внутренние накрестлежащие углы, но вопреки утверждению теоремы прямая AB не паралельна прямой CD и, следовательно, они пересекаются в точке O, которая лежит в одной из полуплоскостей от прямой AC.
1 Рисунок 3.2.1. К теореме 3.1.
Отложим от луча АC треугольник AO1C, равный COА, так, что вершина O1 лежит в другой, нежели точка O, полуплоскости. Из равенства этих треугольников следует, что , ; по условию: и тогда точки O, C, лежат на одной прямой, и, аналогично, из равенства по условию углов OCA и смежного к BAC следует, что точки O1, A, O лежат также на одной прямой. Отсюда следует, что через две различные точки O и O1 плоскости проходят две различные прямые AB и CD. Это противоречит аксиоме 1.2. Полученное противоречие доказывает теорему.
На основании теоремы 3.1 можно легко доказать еще несколько признаков параллельности.
Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Из данного утверждения вытекает
Следствие 3.1. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
Для упрощения записей примем, что куб АВСDА1В1С1D1 - единичный, то есть его сторона равна 1. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или другими словами это две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными. Значит MN и A1C - скрещивающиеся прямые. Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся. Проведем прямую СР параллельно прямой MN. Угол А1СР - искомый угол. NA=√(АВ²+ВN²)=√(1+1/4)=√5/2 (по Пифагору). NM=√(NA²+AM²)=√(5/4+9/16)=√29/4 (по Пифагору). CP=NM=√29/4. CA1=√(2+1)=√3 (диагональ куба). А1Р=√(MA1²+MP²)=√(1/16+1/4)=√5/4. По теореме косинусов: Cosα=(CA1²+CP²-A1P²)/(2CA1*CP) или Cosα=(3+29/16-5/16)/(2√3*√29/4)=(72/16)/(√87\2)=9/√87. ответ: Cosα=9/√87.
Второй вариант решения - координатный метод. Пусть куб единичный, то есть сторона его "а"=1. Начало координат в точке С(0;0;0). Точка N(0;1/2;0), точка М(1;1;3/4), точка А1(1;1;1). Тогда вектор MN{-1;-1/2;-3/4}, его модуль |MN|=√(1+1/4+9/16)=√29/4. Вектор А1С{-1;-1;-1}, |A1C|=√(1+1+1)=√3. Cosα=(MN*A1C)/(|MN|*|A1C|) или Cosα=(1+1/2+3/4)/(√87/4)=9/√87. ответ: Cosα=9/√87.
O - центр окружности BO = 5 cм AС - хорда AB = 8 cм BC = 12 cм AC = AB + BC AC = 8 + 12 = 20 (cм)
Треугольник ACO - равнобедренный с равными боковыми сторонами AO = CO = R и основанием AC. Опустим высоту OD на основание AC, которая также будет биссектрисой и медианой ⇒ AD = DC = AC / 2 AD = 20 / 2 = 10 (cм) BD = AD - AB BD = 10 - 8 = 2 (cм)
В прямоугольном треугольнике BDO: Гипотенуза ВO = 5 см Катет BD = 2 см По теореме Пифагора: BO² = BD² + OD² OD² = BO² - BD² OD² = 5² - 2² OD² = 25 - 4 OD² = 21 OD = √21 (cм)
В прямоугольном треугольнике ADO: КАтет AD = 10 cм Катет OD = √21 cм Гипотенуза AO = R По теореме Пифагора: AO² = AD² + OD² AO² = 10² + 21 AO² = 100 + 21 AO² = 121 AO = √121 AO = 11 (cм) Радиус окружности R = 11 cм
3.2. Признаки параллельных прямых
Cледующая теорема дает достаточные условия параллельности (т. е. условия, выполнение которых гарантирует параллельность) двух прямых. Иначе такую теорему можно назвать признаком параллельности прямых:
Теорема 3.1.
Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство
До ознакомления с доказательством теоремы 3.1 необходимо изучить раздел 4.1 и теоремы 4.1 и 4.2 главы 4. Докажем теорему так называемым методом от противного: предположим, что условие теоремы выполнено, а именно: прямые AB и CD образуют с секущей AC равные внутренние накрестлежащие углы, но вопреки утверждению теоремы прямая AB не паралельна прямой CD и, следовательно, они пересекаются в точке O, которая лежит в одной из полуплоскостей от прямой AC.
1
Рисунок 3.2.1.
К теореме 3.1.
Отложим от луча АC треугольник AO1C, равный COА, так, что вершина O1 лежит в другой, нежели точка O, полуплоскости. Из равенства этих треугольников следует, что , ; по условию: и тогда точки O, C, лежат на одной прямой, и, аналогично, из равенства по условию углов OCA и смежного к BAC следует, что точки O1, A, O лежат также на одной прямой. Отсюда следует, что через две различные точки O и O1 плоскости проходят две различные прямые AB и CD. Это противоречит аксиоме 1.2. Полученное противоречие доказывает теорему.
На основании теоремы 3.1 можно легко доказать еще несколько признаков параллельности.
Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Из данного утверждения вытекает
Следствие 3.1.
Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.