Question

Биссектрисы треугольника abc пересекают его описанную окружность в точках x, y, z. радиус вписанной окружности треугольника abc равен 39. радиус описанной окружности треугольника abc равен 100. найдите отношение площади треугольника abc к площади треугольника xyz

Answer 1

Для решения этой задачи нам придется вывести кое-какие формулы для площади треугольника.

1. S=Rr(sin A+sin B+sin C).

В самом деле, S=pr=r(a+b+c)/2=
r(Rsin A+Rsin B+Rsin C) по теореме синусов.

2. S=4Rrcos(A/2)·cos(B/2)·cos(C/2).

Преобразуем: 
sin A+sin B+sin C=2sin(A+B)/2·cos(A-B)/2+sin(180-A-B)=
2sin(A+B)/2·cos(A-B)/2+2sin(A+B)/2·cos(A+B)/2=
2sin(A+B)/2·(cos(A-B)/2+cos(A+B)/2)=
4sin(180-C)/2·cos(A-B+A+B)/4·cos(A-B-A-B)/4=
4cos (C/2)·cos(A/2)·cos(B/2).

По этой формуле мы запишем площадь треугольника ABC.

Переходим к площади треугольника XYZ. Нам понадобится еще одна формула.

3. S_(XYZ)=2R^2sin X·sin Y·sin Z.

Имеем: S=(xyz)/(4R)=(2Rsin X)(2Rsin Y)(2Rsin Z)/(4R) = то, что надо.

Заметим, что R общее для обоих треугольников, и что углы
X=(B+C)/2; Y=(A+C)/2; Z=(A+B)/2⇒

S_(XYZ)=2R^2sin(B+C)/2·sin(A+C)/2·sin(A+B)/2=
2R^2sin(180-A)/2·sin(180-B)/2·sin(180-C)/2=
2R^2cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2).

Поэтому S_(ABC)/S_(XYZ)=(4Rr)/(2R^2)=(2r)/R

ответ: 39/50