ответ: ∠А1=40°; ∠В1=60°; ∠С1=80°
Объяснение: Треугольник АВС - тупоугольный, поэтому высоты из острых углов В и С пройдут перпендикулярно продолжениям сторон СА и ВА вне его плоскости.и пересекутся в некоторой точке К.
Прямоугольные треугольники АВВ1 и АСС1 - подобны по острому углу при А ( эти углы равны как вертикальные) Эти же острые углы при А смежные углу ВАС и равны 180°-110°=70° каждый.
В ∆ АВВ1 и ∆ АСС1 ∠ АВВ1 и ∠АСС1 равны 90°-70°=20°
В ∆ ВКА1 ∠ВКА1=90°-(40°+20°)=30°.
В ∆ СКА1 ∠СКА1=90°-(30*=20°)=40°
Последовательно найдем части углов ∆ А1В1С1 и углы А1, С1, В1.
а) Гипотенуза прямоугольных ∆ ВКС1 и ∆ СКА1 - общая => вокруг них можно описать окружность с диаметром ВК.
Вписанный ∠ВС1А1=∠ВКА1=30° ( опираются на одну дугу ВА1)
Вписанный ∠КА1С1=КВС1=20° ( опираются на одну дугу КС1)
б) Гипотенуза КС - общая для прямоугольных треугольников КСА1 и КСВ1. Вокруг них опишем окружность с диаметром КС.
Вписанный ∠КА1В1=КСВ1=20° ( опираюстя на одну дугу КВ1)=>
В треугольнике А1В1С1 ∠А1=угол В1А1К+КА1С1=40°
Вписанный ∠СВ1А1=СКА1=40° (опираются на дугу СА1)
с) Гипотенуза ВС прямоугольных треугольников ВВ1С и ВС1С общая. Опишем вокруг низ окружность с диаметром ВС.
Вписанный ∠ВС1А1 =углу ВКА1=30°=>
В треугольнике А1В1С1 ∠С1=В1С1В+ВС1А1=30°+30°=60°
Из суммы углов треугольника ∠С1=180°-∠А1-∠В1=180°-40°-60°=80°
=========
Есть более короткий решения по теореме: В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному. Величина искомых углов получится той же, что в данном решении.
Ответ: 40°, 60°, 80°
Объяснение:
Треугольник АВС - тупоугольный, поэтому высота из тупого угла проходит внутри треугольника, а высоты из вершин острых углов перпендикулярны продолжениям сторон, к которым проведены.
Пусть продолжения высот пересекаются в некоторой точке К.
Треугольник ВКС - остроугольный.
В прямоугольном треугольнике СВВ1 ∠ВСВ1=30°, ⇒ ∠СВВ1=90°-30°=60°.
В прямоугольном треугольнике ВСС1 ∠СВВ1=40° ⇒
∠ВСС1=90°-40°=50°
Из суммы углов треугольника ∠К=180°-угол В-угол С=180°-60°-50°=70°
В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному ( теорема).
В ∆ А1СС1 ∠А1=∠ВКС=70°, ∠С1=углу КВС=60°
В ∆ А1ВВ1 ∠В1А1К=∠ВКС =70°
Угол В1А1С1 равен разности между развернутым углом ВА1С и двух углов по 70°, , т.е. ∠В1А1С1=180°-2•70°=40°.
Аналогично в ∆ В1КС1 ∠КС1В1=∠КВС=60° ⇒
∠В1С1А1 равен разности величин развернутого угла КС1С и двух углов по 60°.
В ∆ А1В1С1 угол С1=180°-2•60°=60°
Из суммы углов треугольника в ∆ А1В1С1 угол В1=180°-40°-60°=80°
Відповідь:
Пояснення: