Question

Биссектрисы внутреннего и внешнего угла при вершине с тупоугольного треугольника авс пересекают ав в точках l и м соответственно. найти радиус описанной окружности, если cl=cm, bc=5, ac=12

Answer 1

$w(O;R)$ описана около Δ $ABC$
Δ $ABC-$ тупоугольный
$\ \textless \ B-$ тупой
$CL$ и $CM$ биссектрисы внутреннего и внешнего углов Δ $ABC$
$CL$ ∩ $AB=L$
$CM$ ∩ $AB=M$
$CL=CM$
$BC=5$
$AC=12$
$R-$ ?

1)
$CL$ ∩ $AB=L$
$CM$ ∩ $AB=M$
$\ \textless \ ACL=\ \textless \ LCB$ ( по условию)
$\ \textless \ BCM=\ \textless \ QCM$ ( по условию)
$\ \textless \ ACQ=180к$
$\ \textless \ ACQ=\ \textless \ ACB+\ \textless \ BCQ$
$\ \textless \ ACQ=2\ \textless \ LCB+2\ \textless \ BCM$
$2(\ \textless \ LCB+\ \textless \ BCM)=180к$
$\ \textless \ LCB+\ \textless \ BCM=90к$
$\ \textless \ LCM=\ \textless \ LCB+\ \textless \ BCM=90к$ ⇒ Δ $LCM-$ прямоугольный
$LC=CM$ (по условию) ⇒ Δ $LCM-$  и  равнобедренный
$\ \textless \ CLM=\ \textless \ CML=45к$
2)
$\ \textless \ CAM= \beta$
$\ \textless \ ABC= \alpha$
$\ \textless \ MBC=j$
Δ $AMC:$
$\frac{AC}{sin\ \textless \ AMC} = \frac{CM}{sin\ \textless \ MAC}$
$\frac{AC}{sin45к} = \frac{CM}{sin \beta }$
$\frac{12}{ \frac{ \sqrt{2} }{2} } = \frac{CM}{sin \beta }$
$12 \sqrt{2} = \frac{CM}{sin \beta }$
$CM=12 \sqrt{2} *sin \beta$
Δ $MBC:$
$\frac{BC}{sin\ \textless \ BMC} = \frac{CM}{sin\ \textless \ CBM}$
$\frac{BC}{sin45к} = \frac{CM}{sinj}$
$j=180к- \alpha$
$sinj=sin(180к- \alpha )=sin \alpha$
$\frac{BC}{sin45к} = \frac{CM}{sin \alpha }$
$\frac{5}{ \frac{ \sqrt{2} }{2} } = \frac{CM}{sin \alpha }$
$5 \sqrt{2} = \frac{CM}{sin \alpha }$
$CM=5 \sqrt{2} *{sin \alpha }$

$12 \sqrt{2} *sin \beta =5 \sqrt{2} *{sin \alpha }$
$12*sin \beta =5 *{sin \alpha }$
$sin \alpha = \frac{12}{5} sin \beta$
3)
$\ \textless \ ACL=\ \textless \ 1$
$\ \textless \ LCB=\ \textless \ 2$
Δ $LBC:$
$\ \textless \ 1+ \alpha =135к$ ⇒ $\ \textless \ 1=135к- \alpha$
Δ $ACL:$
$\ \textless \ 2+ \beta =45к$ ⇒ $\ \textless \ 2=45- \beta$
$\ \textless \ 1=\ \textless \ 2$
$135к- \alpha =45к- \beta$
$\alpha =135к-45к+ \beta$
$\alpha =90к+ \beta$
$sin \alpha =sin(90+ \beta )=cos \beta$
$sin \alpha = \frac{12}{5} sin \beta$
$cos \beta = \frac{12}{5} sin \beta$
$\frac{cos \beta}{sin \beta} = \frac{12}{5}$
$ctg \beta = \frac{12}{5}$  ⇒ $\beta =arcctg \frac{12}{5}$
4)
Δ $ABC:$
$\frac{BC}{sin\ \textless \ \beta } =2R$
$\frac{5}{sin(arcctg \frac{12}{5} )} =2R$

$sin(arcctg x)= \frac{1}{ \sqrt{1+x^2} }$
$sin(arcctg \frac{12}{5} )= \frac{1}{ \sqrt{1+( \frac{12}{5} )^2} }= \frac{5}{13}$

$\frac{5}{ \frac{5}{13} } =2R$
$2R=13$
$R=6.5$ 

ответ: 6.5

рисунок в приложении