Круг вписан в ΔАВС. N, Е, F - точки соприкосновения.
Р ΔАВС = 52 см. AN: NB = 2: 3. ЕС = 6 см. Найти: АВ, ВС, АС.
По условию AN: NB = 2: 3, AN = 2х (см), NB = 3х (см).
По свойству касательных, проведенных к окружности с одной точки, имеем:
AN = AF = 2х (см), NB = BE = 3х (см), ЕС = FC = 6 см.
По аксиомой измерения отрезков имеем:
АВ = AN + NB; АВ = 2х + 3х = 5х (см).
ВС = BE + ЕС; ВС = 3х + 6 (см)
AC = AF + FC; АС = 2х + 6 (см). В = АВ + ВС + АС.
Составим i решим уравнение:
5х + 3х + 6 + 2х + 6 = 52; 10х + 12 = 52; 10х = 51 - 12; 10х = 40;
х = 40: 10; х = 4 АВ = 5 • 4 = 20 (см) ВС = 3 • 4 + 6 = 18 (см)
АС = 2 • 4 + 6 = 14 (см).
Biдповидь: 20 см, 18 см, 14 см.
На самом деле получились три подобных треугольника, то есть расстояния от точки пересечения боковых сторон до всех трех отрезков пропорциональны их длинам. То есть существует такое число k, что эти расстояния равны соответственно kb, kx, ka.
Теперь задачка становится буквально устной. Отрезок x делит трапецию на две. Средние линии у них (x + b)/2 и (x + a)/2, а высоты kx - kb и ka - kx; площади (k/2)(x + b)(x - b) и (k/2)(x + a)(a - x);
Из равенства площадей следует
x^2 - b^2 = a^2 - x^2; или x^2 = (a^2 + b^2)/2; это ответ.
В данном случае x = 5;