М∈АВ
N∈BC
P∈AC
И делит стороны так, что
MB=2AM, NC=2BN, AP=2PC, т.е. соотношение1:2
Отношение площадей треугольников имеющих равный (общий) угол равно произведению сторон содержащих этот угол. Доказательство этого факта приводить не буду. Желающие найдут (сделают :-) сами.
Рассмотрим, исходя из этого, треугольники АВС и AMP.
S(ABC)/S(AMP) = (AB*AC)/(AM*AP) (1)
Примем меньший отрезок АМ за 1 часть, соответственно MB будет 2 части.
Т.е. AB/AM = 3/1, AC/AP=3/2, подставим эти соотношения в выражение (1) для соотношения площадей треугольников получим:
S(ABC)/S(AMP) = (3*3)/(1*2) = 9/2, т.е. S(AMP)=(2/9)*S(ABC) =(2/9)*S
Можно провести аналогичные рассуждения для оставшихся треугольников, но учитывая соотношения сторон легко :-) заметить, что площади всех маленьких треугольников AMP, MBN, PNC равны и равны (2/9)*S.
Т.о. искомая площадь треугольника MNP будет равна
S-3*((2/9)*S) = 1/3 S, одной трети площади ABC, равной S.
И ещё. В чем смысл подобных задач? В том что ты учишься находить решение.
Сегодня это геометрия. Через годы это будут другие, более серьезные проблемы. На этом сайте ты научишься только списывать. Скачай себе
"Гордин-Планиметрия 7-9" и реши хотя бы одну задачу на соотношение площадей. Тогда я буду считать, что не зря потратил время, набивая всё это.
С тебя "69" :-)
Возьмем на прямой точку Р и опустим из нее перпендикуляры РО на плоскость угла и РН на сторону этого угла. По теореме о трех перпендикулярах, отрезок ОН будет перпендикулярен стороне АН. Тогда в треугольнике АОН катеты АН и ОН равны (так как АО - биссектриса). Пусть они равны "а".
Тогда АО= а√2.
В прямоугольном треугольнике АРН угол РАН=60° (дано), тогда <APH=30° (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°).
Значит АР =2а (так как катет АН лежит против угла 30°).
Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.
То есть нам надо найти градусную меру угла РАО.
Косинус угла РАО=АО/АР или Cos(PAO)=a√2/2a=√2/2.
Следовательно, искомый угол равен arccos(√2/2) или 45°.
ответ: 45°.