Периметр прямоугольного треугольника равен 12, а один из острых углов равен arccos0,8. найдите площадь треугольника и докажите, что она выражается целым числом. напишите решение
Угол А таков, что cos A = 0,8 = 4/5 Тогда sin A = √(1 - 0,8^2) = √(1 - 0,64) = √0,36 = 0,6 = 3/5. Но cos A = b/c = 4/5; sin A = a/c = 3/5 Значит, катеты a = 3k; b = 4k, гипотенуза c = 5k. То есть этот треугольник подобен египетскому (3; 4; 5) Периметр P = 3k + 4k + 5k = 12k = 12; k = 1 Значит, это и есть египетский треугольник. Его площадь S = a*b/2 = 3*4/2 = 6
Можно получить синусы этих углов, поскольку известна гипотенуза - соответствующая сторона треугольника - и катет, лежащий против угла, перпендикулярный плоскости альфа. Для CA это будет sin=4/12=1/3. Для CB sin=8/16=1/2, то есть угол равен 30 градусов. Для AB надо сначала по теореме Пифагора вычислить гипотенузу: AB=20, затем, рассмотрев прямоугольную трапецию в плоскости, проведенной через AB и проекцию AB, увидеть катет, равный 4. Получается sin= 4/20=1/5. Площадь треугольника вычисляется по формуле (1/2)*16*12=96 кв. см.
Можно получить синусы этих углов, поскольку известна гипотенуза - соответствующая сторона треугольника - и катет, лежащий против угла, перпендикулярный плоскости альфа. Для CA это будет sin=4/12=1/3. Для CB sin=8/16=1/2, то есть угол равен 30 градусов. Для AB надо сначала по теореме Пифагора вычислить гипотенузу: AB=20, затем, рассмотрев прямоугольную трапецию в плоскости, проведенной через AB и проекцию AB, увидеть катет, равный 4. Получается sin= 4/20=1/5. Площадь треугольника вычисляется по формуле (1/2)*16*12=96 кв. см.
Тогда sin A = √(1 - 0,8^2) = √(1 - 0,64) = √0,36 = 0,6 = 3/5.
Но cos A = b/c = 4/5; sin A = a/c = 3/5
Значит, катеты a = 3k; b = 4k, гипотенуза c = 5k.
То есть этот треугольник подобен египетскому (3; 4; 5)
Периметр P = 3k + 4k + 5k = 12k = 12; k = 1
Значит, это и есть египетский треугольник.
Его площадь S = a*b/2 = 3*4/2 = 6