Пусть дан треугольник ABC (рисунок прилагается). Проведем серединные перпендикуляры к AC и BC. Они пересекутся в точке O (они не могут быть параллельными, так как иначе AC и BC были бы параллельными, либо совпадали). Теперь опустим из O высоту OM на AB и докажем, что она является и медианой. Для треугольника BOC: OK - медиана и высота, значит BO = OC (треугольник BOC равнобедренный). Для треугольника AOC: OL - медиана и высота, значит AO = OC (треугольник AOC равнобедренный) Отсюда AO=BO. Значит OM - высота равнобедренного треугольника. Отсюда OM - медиана.
Три вершины треугольника равноудалены от центра описанной окружности... т.е. расстояния OА=OB=OC = R обозначим равные стороны АВ=ВС, тогда угол АВС=120 (другого варианта быть не может...))) угол ВАС = 30 градусов --- вписанный угол, опирающийся на дугу ВС, тогда центральный угол ВОС = 60 градусов --- это угол при вершине равнобедренного треугольника (ВО=ОС) => этот треугольник равносторонний... R = BC = BA т.е. колодец должен находиться в вершине равностороннего треугольника со сторонами, равными меньшему из расстояний между домами... (АС > больше, чем АВ=ВС)))
Т.к. MN --- средняя линия, АВС и MBN подобны с коэффициентом подобия 2 S(ABC) = 4*S(MBN) или S(MNB) = S(ABC) / 4 (площади подобных фигур относятся как квадраты коэфф.подобия))) AMNC --- трапеция, АОС и MNO подобны с коэфф.подобия тоже 2 S(AOC) = 4*S(MNO) для треугольника ABN --- MN будет медианой... медиана разбивает треугольник на два равных по площади треугольника, т.е. S(AMN) = S(MNB) S(AMN) = S(AMO) + S(MNO) => S(AMO) = S(AMN) - S(MNO) = S(MNB) - S(MNO) аналогично, для треугольника CMB --- MN будет медианой... и S(СMN) = S(MNB) S(СMN) = S(CNO) + S(MNO) => S(CNO) = S(CMN) - S(MNO) = S(MNB) - S(MNO)
Теперь опустим из O высоту OM на AB и докажем, что она является и медианой.
Для треугольника BOC:
OK - медиана и высота, значит BO = OC (треугольник BOC равнобедренный).
Для треугольника AOC:
OL - медиана и высота, значит AO = OC (треугольник AOC равнобедренный)
Отсюда AO=BO. Значит OM - высота равнобедренного треугольника. Отсюда OM - медиана.