Площадь прямоугольного треугольника равна 84 дм², а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, 3см. Найти катеты треугольника.
Пусть дан треугольник АВС, угол С=90º
Точки касания вписанной окружности на АС- точка К, на ВС - точка Н, на гипотенузе АВ- точка М.
Пусть АК=х, ВН=у.
Тогда по свойству отрезков касательных из одной точки АМ=х, ВМ=у
АВ=х+у
АС=х+3, ВС=у+3
Формула радиуса вписанной окружности
r=S:p, где r -радиус, S - площадь треугольника. р- его полупериметр
р=х+у+3
3=84:(х+у+3)
х+у+3=28⇒
х+у=25
у=25-х
АВ=х+у=25 дм
АС=х+3
ВС=25-х+3=28-х
По т.Пифагора
(х+3)²+(28-х)²=625
Произведя вычисления и приведя подобные члены, получим квадратное уравнение
х²-25х+84=0
D=25²-4·84=289
Решив уравнение, найдем два корня: 21 и 4
АС=21+3=24 дм
ВС=28-21=7 дм
Кстати, длины сторон этого треугольника из Пифагоровых троек, где стороны относятся как 7:24:25
тогда координаты интересующих нас точек будут :
А(0;0;0)
А1(0;0;1)
С(0;√3;0)
В1(-0.5;√3/2;1)
уравнение плоскости А1В1С
ax+by+cz+d=0
подставим в него координаты точек А1 С и В1
с+d=0
√3b+d=0
-0.5a+√3/2b+c+d=0
положим d=1, тогда с=-1 b=-1/√3 a=-1/√3
нормализованное уравнение плоскости .
к= √(1/3+1/3+1)=√(5/3)
-1/√5x-1/√5y-√(3/5)z+√(3/5)=0
подставим координаты точки А(0;0;0) в нормализованное уравнение
l =| √(3/5) |= √(3/5) - это искомое расстояние до плоскости.