1) В правильной треугольной пирамиде проекция бокового ребра на основание равна 2/3 высоты основания h и равна радиусу R описанной окружности около основания.
h = a*cos 30° = 6*(√3/2) = 3√3 см.
R = (2/3)h = (2/3)*(3√3) = 2√3 см.
Отсюда получаем ответ:
β = arc tg(H/R) = arc tg(4/2√3) = 0,8571 радиан или 49,1066 градуса.
2) В правильной треугольной пирамиде проекция апофемы на основание равна 1/3 высоты основания h и равна радиусу r вписанной окружности в основание.
h = a*cos 30° = 6*(√3/2) = 3√3 см.
r = (1/3)h = (1/3)*(3√3) = √3 см.
Отсюда получаем ответ:
α = arc tg(H/r) = arc tg(4/√3) = 1,16216 радиан или 66,58678 градуса.
3) So = a²√3/4 = 36√3/4 = 9√3 см².
Периметр Р = 3а = 3*6 = 18 см.
Апофема А = √(Н² + r²) = √(36 + 3) = √39 см.
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*18*√39 = 9√39 см².
S = So + Sбок = 9√3 + 9√39 = 9(√3 + √39) см².
Если рассмотреть треугольник со сторонами, равными боковому ребру, высоте и (2/3) высоты основания пирамиды, то угол наклона будет угол между боковым ребром и (2/3) высоты треугольника, лежащего в основании.
По стороне основания найдем высоту основания. Она равна а √3/2=6√3/2=3√3, а 2/3 этой высоты равно 2√3 см, отношение высоты пирамиды к высоте основания пирамиды равно тангенсу угла наклона бокового ребра к плоскости основания, здесь 2/3 высоты осснования является проекцией бокового ребра на плоскость основания.
Итак, тангенс искомого угла равен
4/2√3=2/√3, тогда искомый угол это арктангенс (2/√3)
Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. ⇒
АО=12:3•2=8
CO=15:3•2=10
Весь треугольник разделяется своими тремя медианами на шесть равновеликих (равных по площади) треугольников. Если провести медиану из В к АС, то
площадь ∆ АОС =2•1/6 S ABC=1/3 S ABC
По т.Герона площадь треугольника
S=√(р•(р-а)•(p-b)•(p-c), где а, b и c - стороны треугольника, р - его полупериметр.
р ∆ АВС=(12+8+10):2=15
По т.Герона S ∆AOC=√15•(15-8)•(15-10)•(15-12)
S ∆ AOC=√15•7•5•3=15√7⇒
S ∆ ABC=3•15√7=45√7 (ед. площади)