Question

Сторона основания правильной треугольной пирамиды sabc равна 9, а боковое ребро 12. на ребре основания ас находится точка l, на ребре основания ав –точка м, а на боковом ребре as–точка к. известно, что cl=bm=sk=3. найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки l,m и к.

Answer 1

Основание правильной пирамиды - равносторонний треугольник АВС. Вершина S правильной пирамиды проецируется в  т.О – центр правильного треугольника АВС. 

Сечение KLM- треугольник.

Искомая площадь    S=a•h:2, где a=ML, h=KO 

Угол МАL=60°, CL=BM, следовательно, AL=AM  ⇒∆ AML – правильный.  

АL=AM=9-3=6,⇒  ML=6

Высота основания AH=AB•sin60°=9√3/2=4,5√3

Грани пирамиды - равнобедренные треугольники. 

По т.Пифагора из ∆ SHB:

SH²=SB²-BH²=144-20,25=123,75

По т. косинусов  вычислим косинус ∠SAH: 

SH²=SA²+AH² - 2•SA•HA•cos∠SAH

123,75=144+60,75 - 2•12•4,5√3•cosSAH

-81= -12•9√3•cos∠SAH

$cosSAH= \frac{-81}{-12*9 \sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{3} }{4}$

Из  ∆ KLM по т. косинусов 

КО²=КА²+АО²-2•AO•KO•cos∠KAO

КА=SA-SK=12-3=9

AO=2/3 AH=3√3

КО²=81+27 - 2•9•3√3•√3):4 

КО²=67,5

КО=1,5√30

S ∆KLM=0.5•6•1,5√30=4,5√30