1) В четырехугольнике ABCD точки E и F — соответственно середины равных сторон AB и CD . Серединные перпендикуляр к стороне AD пересекает серединный перпендикуляр к стороне BC в точке P . Докажите, что серединный перпендикуляр, проведенный к отрезку EF проходит через точку P .
2) В четырехугольнике ABCD серединные перпендикуляры к сторонамAB и CD пересекаются на стороне AD . Известно, что \angle A = \angle D . Докажите, что в четырехугольнике диагонали равны.
3) В квадрате ABCD даны точки E и F соответственно на сторонах AB и BC ,причем \angle AED = \angle FED . Докажите равенство EF = AE + FC
так???!!!
Диагональ AC больше диагонали BD на 4 (см)
Пусть диагональ AC= Х, тогда диагональ BD= Х - 4
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения (О) делятся пополам⇒ AO = AC / 2 = x / 2
BO = BD / 2 = (х - 4) / 2
В прямоугольном треугольнике AOB: AO и BO - катеты, AB - гипотенуза.
По теореме Пифагора:
AO² + BO² = AB²
x - 4
(x / 2)² + ()² = 18²
2
(x - 4)²
x²/4 + = 324
4
x² + x² - 8x + 16
= 324
4
2x² - 8x + 16 = 1296
x² - 4x + 8 = 648
x² - 4x - 640 = 0
D= b² - 4ac
D = 16 - 4 * 1 * (-640) = 16 + 2560 = 2576 >0 ⇒ уравнение имеет 2 корня
√D = √2576 = √(7*23*16) = 4√161
x₁ = (4 - 4√161) / 2 < 0 ⇒ не является искомой величиной, т.к.диагональ не может иметь отрицательную длину
x₂ = (4 + 4√161) / 2 = 2 + 2√161
Длина диагонали AC= 2+ 2√161 = 2√161 + 2 (cм)
Тогда длина диагонали BD = 2 + 2√161 - 4 = 2√161 - 2 (cм)
Проверяем по теореме Пифагора
(1+ √161)² + (√161 - 1)² = 18²
1 + 2√161 + 161 + 161 - 2√161 + 1 = 324
324 = 324
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей
S = 1/2 * AC * BD
S= 1/2 * (2√161 + 2) * (2√161 - 2) = 1/2 * (4*161 - 4) = 1/2 * 640 = 320 (cм²)