Question

Периметр равнобедренного треугольника=128 см, а биссектриса, проведенная к основе=32 см обчислите длину вписанного круга

Answer 1

Пусть a - основание равнобедренного треугольника, l - биссектриса, r - радиус вписанной окружности, b - боковая сторона.
Выразим площадь треугольника через радиус вписанной окружности:
$S = \dfrac{1}{2}Pr = 0,5 \cdot 128r = 64r$
Биссектриса в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является и медианой, и высотой, поэтому:
$S = \dfrac{1}{2}al = 0,5a \cdot 32 = 16a$
Приравняем теперь обе формулы:
$64r = 16 a \\ a = 4r$.
Найдём по теореме Пифагора боковую сторону b:
$b = \sqrt{( \dfrac{1}{2} \cdot 4r)^2 + 32^2} = \sqrt{4r^2 + 1024} = 2 \sqrt{r^2 + 256}$.
У нас известен периметр, поэтому мы можем сложить все известные стороны и найти таким образом радиус вписанной окружности:
$P = a + 2b \\ 128 = 4r + 2 \cdot 2 \sqrt{r^2 + 256} \\ r + \sqrt{r^2 + 256} = 32 \\ \sqrt{r^2 + 256} = 32 - r \\ r^2 + 256 = 1024 - 64r + r^2 \\ 256 - 1024 = -64r \\ r = 12$
Осталось найти длину круга:
$C = 2 \pi r = 24 \pi$
ответ: $24 \pi \ cm.$