Решить . один из острых углов прямоугольниого треугольника равен 60 градусов, а длина прилежащего к нему катета равна 4 см. вычислите площадь круга, ограниченного окружностью, описанной около данного треугольника.
Второй острый угол этого прямоугольного треугольника равен 30°, значит, гипотенуза в два раза больше катета, лежащего напротив угла в 30°. АВ = 2АС = 8 см Гипотенуза - диаметр описанной окружности. ⇒R = 4 см Sкруга = πR² = 16π (см²)
Задачу можно решить так, как дано в первом решении - через площадь. Можно гораздо короче, как в комментариях предложил De266, с теоремы синусов. Теорема синусов гласит: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и это отношение равно диаметру описанной вокруг треугольника окружности. Острые углы данного равнобедренного треугольника равны 30° Боковая сторона равна 5, синус 30°=1/2 5:1/2=10=2R 2R=10 R=5 Можно применить теорему о том, что центр описанной окружности - точка пересечения срединных перпендикуляров к сторонам и делать соответствующие вычисления. А можно обойтись без вычислений, только рассуждениями. Этот годится, конечно.только для этого треугольника - равнобедренного с углом 120° при вершине. Мысленно достроить треугольник до ромба. Тогда вершина ромба против вершины данного угла 120° будет центром описанной окружности. От него расстояние до каждой вершины равно стороне и меньшей диагонали этого ромба, и это - радиус описанной окружности. R-5 Если мысленно достроить не получилось - см.рисунок.
Задачу можно решить так, как дано в первом решении - через площадь. Можно гораздо короче, как в комментариях предложил De266, с теоремы синусов. Теорема синусов гласит: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и это отношение равно диаметру описанной вокруг треугольника окружности. Острые углы данного равнобедренного треугольника равны 30° Боковая сторона равна 5, синус 30°=1/2 5:1/2=10=2R 2R=10 R=5 Можно применить теорему о том, что центр описанной окружности - точка пересечения срединных перпендикуляров к сторонам и делать соответствующие вычисления. А можно обойтись без вычислений, только рассуждениями. Этот годится, конечно.только для этого треугольника - равнобедренного с углом 120° при вершине. Мысленно достроить треугольник до ромба. Тогда вершина ромба против вершины данного угла 120° будет центром описанной окружности. От него расстояние до каждой вершины равно стороне и меньшей диагонали этого ромба, и это - радиус описанной окружности. R-5 Если мысленно достроить не получилось - см.рисунок.
АВ = 2АС = 8 см
Гипотенуза - диаметр описанной окружности. ⇒R = 4 см
Sкруга = πR² = 16π (см²)