АВС - египетский треугольник (подобный тр-ку со сторонами 3,4,5), его стороны 15,20,25. Высота, проведенная к гипотенузе АВ - пусть это СН - вычисляется так
СН*25= 15*20 (это удвоенная площадь АВС, записанная СН = 12.
Плоскость DCH перпендикулярна АВ, поскольку АВ перпендикулярно DC и CH. Поэтому искомое расстояние находится из прямоугольного теругольника DCH с катетами 12 и 16. Это опять египетский треугольник, гипотенуза 20.
ответ DH = 20.
Напомню - из за того, что 3^2 + 4^2 = 5^2; подобие такому треугольнику позволяет не заниматься вычислением длинных корней, а сразу записать результат. Впрочем, кому охота, запишите теорему Пифагора и сосчитайте - результат будет тот же.
Пусть основание высоты (на гипотенузе) - это точка О. С - вершина прямого угла. Тогда высота - это вектор h = ОС, отрезки гипотенузы k = OA; p = BО;
(первая точка означает начало вектора, вторая - конец, к примеру, ОА = - АО)
и стороны треугольника можно записать так
CB = p + h;
CA = k - h;
BA = k + p;
Поскольку АВС прямоугольный треугольник, то
(k + p)^2 = (k - h)^2 + (p + h)^2;
Раскрываем скобки.
k^2 + 2kp + p^2 = k^2 - 2kh + h^2 + p^2 + 2ph + h^2;
Вектор h перпендикулярен векторам k и p, => скалярные произведения kh и ph равны 0.
Скалярное произведение kp = kp (то есть произведение длин отрезков гипотенузы), поскольку эти векторы коллинеарны.
Поэтому
kp = h^2; чтд.
На самом деле достаточно проверить, что сумма двух самых коротких отрезков больше третьего, самого длинного.
Скажем, в первом примере 23,5+41,5=65<69,5 - значит, треугольник составить нельзя. А в последнем примере 18+25=43>28,5 - значит, треугольник составить можно