Дана правильная шестиугольная пирамида. Сторона а основания равна апофеме А. Найти угол между боковой гранью и основанием. Примем длину стороны и апофемы за 1. Дано: Сторона основания а = 1 Апофема А = SM = 1
Проекция апофемы на основание - это радиус вписанной окружности r(o)впис = OM = a*cos 30° = 1*(√3/2) ≈ 0,866025. Высота H пирамиды равна: H = √(A² - r²) = √(1² - (√3/2)²) = 1/2. Тангенс угла наклона двугранного угла между боковой гранью и основанием равен плоскому углу в плоскости, перпендикулярной линии пересечения плоскостей, то есть к ребру пирамиды. tg a = H/r = 0,5/(√3/2) = 1/√3 ≈ 0,523599. Этому тангенсу соответствует угол 30 градусов.
Не пойму, в чём подвох? Линия, параллельная основанию и проходящая через середину одной стороны, обязательно проходит и через середину второй. Если это не вызывает противоречия - то построение вот: Основа АВ, вершина С (не равнобедренный, просто произвольный треугольник) 1) Из А радиусом АС проводим окружность 2) Из С радиусом АС проводим окружность 3) соединяем пересечения окружностей, получаем середину стороны АС 4) Из В радиусом ВС проводим окружность 5) из С радиусом ВС проводим окружность 6) соединяем между собой точки пересечения окружностей из пункта 4 и пункта 5. Получаем середину стороны ВС 7) через середины сторон АС и ВС проводим линию. Она параллельна основе АВ и проходит через середины двух сторон.
11² = 8²+х²-2*8*х*(-0,4).
Получаем квадратное уравнение х²+6,4х-57 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=6.4^2-4*1*(-57)=40.96-4*(-57)=40.96-(-4*57)=40.96-(-228)=40.96+228=268.96;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√268.96-6.4)/(2*1)=(16.4-6.4)/2=10/2=5;x₂=(-√268.96-6.4)/(2*1)=(-16.4-6.4)/2=-22.8/2=-11.4 (отрицательный корень не принимаем).
Площадь треугольника находим по формуле Герона:
S =√(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √(12(12-8)(12-5)(12-11)) = √(12*4*7*1) = 18,330303.
Здесь р - полупериметр, равный (8+5+11)/2= 12.
Медиану СМ находим по формуле:
СМ = m(c) = (1/2)√(2a²+2b²-c²) = (1/2)√(2*5²+2*11²-8²) = (1/2)√( 50 + 242 - 64) ≈ 7,549834.