Подобные задачи встречаются довольно часто, как по отдельности, так и пакетом. .
1) Через точку пересечения диагоналей квадрата MNPQ (точку О) проведён перпендикуляр OD к его плоскости. OD=8см, MN=12см.
Вычислите:
а) расстояние от точки D до прямой NP.
б) площади треугольника MDN и его проекции на плоскость квадрата.
в )расстояние между прямыми OD и MN
Решение:.
Вспомним, что диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам.
а) Расстояние от точки до прямой - длина отрезка, проведенная перпендикулярно из точки к прямой. Расстояние от D до прямой NP - наклонная DH, проведенная перпендикулярно NP.
По т.о 3-х перпендикулярах ОН⊥MP; DH ⊥NP⇒
ОН=КN=MN:2=6 см
⊿ DOH - египетский - это следует из отношения его катетов ОН:OD=3:4; его гипотенуза DH=10 см- это и есть искомое расстояние. ( можно проверить по т.Пифагора).
б) Расстояния от D до каждой из сторон и от ОD до каждой из вершин квадрата соответственно равны, т.к. DO проецируется в центр основания, О - центр вписанной ( и описанной) окружности ⇒ ОК=ОH=6 см
∆ MDN- равнобедренный, его высота DK=DH=10 см
S (∆ MDN)=DK•KN=10•6=60 см²
Проекция ∆ MDN на плоскость квадрата - это прямоугольный ∆ MON. Его основание МN - общее с ∆ MDN, вершина D ∆ MDN проецируется в точку пересечения диагоналей, образующих прямой угол, ОM=ON как половины диагоналей квадрата.
MN=12 см, высота ОК=6 см
S (∆ MON)=OK•MN:2=36 см²
в)
DO и MN- скрещивающиеся прямые, расстояние между ними определяется общим перпендикуляром ОК, а так как он равен половине длины стороны квадрата (см. выше), то это расстояние равно 6 см.
––––––––––––
2) Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является квадрат, диагональ которого равна 12√2 дм. Диагональ боковой грани параллелепипеда равна 8√3 дм.
Вычислите градусную меру двугранного угла D1ABD
--------------------
Решение здесь несложное и короткое, в отличие от пояснения.
Сделаем рисунок.
Двугранный угол, градусную меру которого нужно вычислить, составлен плоскостью ∆ D1АВ и плоскостью ∆ DАВ. Первый лежит в плоскости диагонального сечения параллелепипеда, второй - в плоскости квадрата, его основания.
Величина двугранного угла равна его линейному углу, который образован двумя лучами, проведенными в каждой из плоскостей перпендикулярно одной точке на линии их пересечения.
АD1⊥АВ, АD⊥АВ⇒ искомый угол - угол D1АD.
Диагональ квадрата делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника. АD=АВ, и ВD =12√2
АD можно найти
а) по т.Пифагора;
б) через синус (косинус) 45º или
просто вспомнить, что диагональ квадрата ( как и гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника) равна а√2, где а - сторона квадрата или катет равнобедренного прямоугольного треугольника. ⇒
АD=12
cos ∠DAD1=DA:AD1
cos ∠DAD1=12:8√3=(√3):2 - это косинус 30º - искомого угла.
Решение задачи ДАНО: АВСDEFA1B1C1D1E1F1 - правильная шестиугольная призма ; АВ = АА1 = 1
НАЙТИ: p ( A ; CB1 )
1) точка А и отрезок СВ1 лежат в плоскости треугольника АВ1С.
Все боковые грани правильной шестиугольной призмы равны.
Значит, АВ1 = В1С => ∆ АВ1С - равнобедренный
Найдём все стороны ∆ АВ1С
2) Рассмотрим ∆ АВ1В ( угол АВВ = 90° ):
По теореме Пифагора:
АВ1² = АВ² + ВВ1²
АВ1² = 1² + 1² = 2
АВ1 = √2
АВ1 = В1С = √2
3) В основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник. Все углы правильного шестиугольника равны 120°.
Рассмотрим ∆ АВС ( АВ = ВС ):
По теореме косинусов:
АС² = АВ² + ВС² - 2 × АВ × ВС × cos ABC
AC² = 1² + 1² - 2 × 1 × 1 × cos 120°
AC² = 2 - 2 × ( - 1/2 ) = 2 + 1 = 3
AC = √3
4) B1B перпендикулярен ВН
ВН перпендикулярен АС
Значит, по теореме о трёх перпендикулярах В1Н перпендикулярен АС
Высота в равнобедренном ∆ АВ1С является и медианой и биссектрисой =>
АН = НС = 1/2 × АС = 1/2 × √3 = √3/2
5) Рассмотрим ∆ В1СН ( угол В1НС = 90° ):
По теореме Пифагора:
В1С² = В1Н² + НС²
В1Н² = ( √2 )² - ( √3/2 )² = 2 - 3/4 = 5/4
В1Н = √5/2
Опустим из точки А перпендикуляр АМ на отрезок В1С. Соответственно, АМ = р ( А ; В1С )
6) Найдём площадь ∆ В1АС:
S b1ac = 1/2 × AC × B1H
С другой стороны, S b1ac = 1/2 × B1C × AM
Приравняем площади и получим:
1/2 × АС × В1Н = 1/2 × В1С × АМ
АС × В1Н = В1С × АМ
Второй катет=(2 корень из 13)^2-4^2=52-16=36=6^2
Гипотенуза=8^2+6^2=100=10^2
P=10+8+6=24